《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

17. (10 分)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 8x - k^2 = 0 $($ k $ 为常数).
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若原方程的一个根是 $-1$,求 $ k $ 的值及另一个根.

答案：
(1)证明:$\because b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×(-k^{2})=64 + 4k^{2}＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根;
(2)解:将$x=-1$代入原方程,得$(-1)^{2}-8×(-1)-k^{2}=0$,解得$k=\pm3$.根据根与系数的关系得两根之和为8,其中一根为$x=-1$,$\therefore$另一个根为$x=9$.

18. (10 分)某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排 28 场比赛,应邀请多少支球队参加比赛？

答案： 设应邀请$x$支球队参加比赛,由题意,得$\frac{1}{2}x(x - 1)=28$,解得$x_{1}=8$,$x_{2}=-7$(舍去).答:应邀请8支球队参加比赛.

19. (11 分)王叔叔从市场上买了一块长 80 cm,宽 70 cm 的矩形铁皮,准备制作一个工具箱,如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为 $ 3 000 cm^2 $ 的无盖长方形工具箱,求剪掉的正方形的边长.

答案： 设剪掉的正方形边长为$x\ cm$.由题意可列方程为$(80 - 2x)(70 - 2x)=3000$,解得$x=65$(舍)或$x=10$.答:减掉正方形的边长为10cm.