《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

8. 已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $($ a $,$ b $,$ c $ 是常数,$ a \neq 0 $,$ c ＞ 1 $)经过点 $ ( 2, 0 ) $,其对称轴是直线 $ x = \frac { 1 } { 2 } $。有下列结论：
① $ a b c ＞ 0 $；②关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = a $ 有两个不相等的实数根；③ $ a ＜ - \frac { 1 } { 2 } $。其中正确结论的个数是(C)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： C　解析:
∵抛物线的对称轴为直线x = $\frac{1}{2}$，点(2,0)关于直线x = $\frac{1}{2}$的对称点的坐标为(−1,0)，c＞1，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0。
∵抛物线对称轴为直线x = $\frac{1}{2}$，
∴−$\frac{b}{2a}$ = $\frac{1}{2}$，
∴b = −a＞0，
∴abc＜0，故①错误。
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴的上方。又a＜0，
∴抛物线与直线y = a有两个交点，
∴关于x的方程ax² + bx + c = a有两个不相等的实数根，故②正确。
∵抛物线y = ax² + bx + c经过点(2,0)，
∴4a + 2b + c = 0，
∵b = −a，
∴4a - 2a + c = 0，即2a + c = 0，
∴−2a = c。
∵c＞1，
∴−2a＞1，
∴a＜−$\frac{1}{2}$，故③正确。故选C。

9. 方程 $ x ^ { 2 } - 3 x = 0 $ 的根为x₁ = 0，x₂ = 3。

答案： x₁ = 0，x₂ = 3

10. 如图,$ \odot O $ 的半径为 $ 2 $,$ \overgroup { A B } = \overgroup { A C } $,$ \angle C = 60 ^ { \circ } $,则 $ \overgroup { A C } $ 的长为$\frac{4}{3}\pi$。

答案： $\frac{4}{3}$π

11. 已知抛物线的对称轴是直线 $ x = n $,若该抛物线与 $ x $ 轴交于 $ ( 1, 0 ) $,$ ( 3, 0 ) $ 两点,则 $ n $ 的值为2。

答案： 2

12. 某城市居民最低生活保障在 2017 年是每月 750 元,经过连续两年的增加,到 2019 年提高到每月 $ 1080 $ 元,则该城市两年来最低生活保障的年平均增长率是20%。

答案： 20%

13. 如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + c $ 与直线 $ y = - m x + n $ 交于 $ A ( - 1, p ) $,$ B ( 3, q ) $ 两点,则不等式 $ a x ^ { 2 } + m x + c ＞ n $ 的解集是x＜−1或x＞3。

答案： x＜−1或x＞3

14. (8 分)用公式法解一元二次方程：$ x ^ { 2 } - 4 x + 2 = 0 $。

答案： 解:
∵a = 1，b = −4，c = 2，
∴△ = b² - 4ac = (−4)² - 4×1×2 = 8，
∴x = $\frac{4 ± 2\sqrt{2}}{2}$ = 2 ± $\sqrt{2}$，
∴x₁ = 2 + $\sqrt{2}$，x₂ = 2 - $\sqrt{2}$。