《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (12 分)如图,某小区有一块长为 30 m,宽为 24 m 的矩形空地,计划在其上划分出两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为 $ 480 m^2 $。若两块绿地之间和周边有宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度。

答案： 设人行通道的宽度为x m.由题意得$(30 - 3x)(24 - 2x)=480$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=20$(舍).答:人行通道的宽度为2 m.

20. (12 分)一名同学推铅球,铅球出手后运动过程中离地面的高度 $ y $(单位：m)与水平距离 $ x $(单位：m)近似满足函数解析式 $ y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + c $,其图象如图所示,已知铅球落地时的水平距离为 10 m。
(1) 求铅球出手时离地面的高度；
(2) 在铅球运动过程中,当它离地面的高度为 $ \frac{11}{12} m $ 时,求铅球的水平距离。

答案：
(1)根据题意,将$(10,0)$代入$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x + c$,得$-\frac{1}{12}×10^{2}+\frac{2}{3}×10 + c = 0$,解得$c=\frac{5}{3}$,即铅球出手时离地面的高度为$\frac{5}{3}$m.
(2)将$y=\frac{11}{12}$代入$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$,得$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=\frac{11}{12}$,整理,得$x^{2}-8x - 9 = 0$,解得$x_{1}=9$,$x_{2}=-1$(舍去),
∴此时铅球的水平距离为9 m.

21. (13 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = -x^2 + 6x - 5 $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其顶点为 $ P $,连接 $ PA $,$ AC $,$ CP $,过点 $ C $ 作 $ y $ 轴的垂线 $ l $。
(1) 求点 $ P $,$ C $ 的坐标。
(2) 直线 $ l $ 上是否存在点 $ Q $,使 $ \triangle PBQ $ 面积等于 $ \triangle PAC $ 面积的 2 倍？若存在,求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：

(1)
∵$y=-x^{2}+6x - 5=-(x - 3)^{2}+4$,
∴$P(3,4)$,令$x = 0$得到$y=-5$,
∴$C(0,-5)$.
(2)存在点Q,使$\triangle PBQ$的面积等于$\triangle PAC$面积的2倍.令$y = 0$,则$-x^{2}+6x - 5 = 0$,解得$x = 1$或$x = 5$,
∴$A(1,0)$,$B(5,0)$.设直线PC的解析式为$y = kx + b$,则有$\begin{cases}b=-5\\3k + b = 4\end{cases}$,解得$\begin{cases}k = 3\\b=-5\end{cases}$,
∴直线PC的解析式为$y = 3x - 5$.设直线PC交x轴于点D,则$D(\frac{5}{3},0)$,设直线PQ交x轴于点E,当$BE = 2AD$时,$\triangle PBQ$面积等于$\triangle PAC$面积的2倍.
∵$AD = OD - OA=\frac{5}{3}-1=\frac{2}{3}$,
∴$BE = BE'=\frac{4}{3}$,
∴$OE = OB - BE = 5-\frac{4}{3}=\frac{11}{3}$,$OE' = OB + BE' = 5+\frac{4}{3}=\frac{19}{3}$,
∴$E(\frac{11}{3},0)$,$E'(\frac{19}{3},0)$,
∴直线PE的解析式为$y=-6x + 22$,直线$PE'$的解析式为$y = -\frac{6}{5}x+\frac{38}{5}$,
∴$Q(\frac{9}{2},-5)$,$Q'(\frac{21}{2},-5)$.综上所述,满足条件的点Q的坐标为$(\frac{9}{2},-5)$或$(\frac{21}{2},-5)$.