《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

14. (10 分)如图,矩形$ABCD的边AB与x$轴平行,顶点$A的坐标为(2,1)$,点$B与点D都在反比例函数y = \frac{6}{x}(x \gt 0)$的图象上,求矩形$ABCD$的周长。

答案： 解:
∵四边形ABCD是矩形,点A的坐标为(2,1),
∴点D的横坐标为2,点B的纵坐标为1.当x=2时,y=$\frac{6}{2}$=3,当y=1时,x=6,
∴AD=3-1=2,AB=6-2=4,
∴矩形ABCD的周长=2×(2+4)=12.

15. (10 分)如图,$\triangle OPQ是边长为\sqrt{2}$的等边三角形,若反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象经过点P$。
(1)求点$P的坐标和k$的值。
(2)若在这个反比例函数的图象上有两个点$(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})$,且$x_{1} \lt x_{2} \lt 0$,请比较$y_{1}与y_{2}$的大小。

答案：
(1)
∵△OPQ是边长为$\sqrt{2}$的等边三角形,
∴点P的坐标为($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$).
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点P,
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{k}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$,解得k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(2)
∵k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0,
∴函数y=$\frac{\sqrt{3}}{2x}$的图象在每个象限内,y随x的增大而减小.
∴当图象上两点的横坐标x₁＜x₂＜0时,有y₁＞y₂.

16. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,点$O$为坐标原点。已知反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象经过点A(-2,m)$,过点$A作AB \perp x$轴,垂足为点$B$,且$\triangle OAB的面积为1$。
(1)求$k和m$的值；
(2)当$1 \leq x \leq 3$时,求函数值$y$的取值范围。

答案：
(1)
∵A(-2,m),
∴OB=2,AB=m,
∴S△OAB=$\frac{1}{2}$OB·AB=$\frac{1}{2}$×2m=1,
∴m=1,
∴点A的坐标为(-2,1),把A(-2,1)代入y=$\frac{k}{x}$,得k=-2×1=-2.
(2)
∵反比例函数的解析式为y=-$\frac{2}{x}$,
∴当x=1时,y=-2;当x=3时,y=-$\frac{2}{3}$.又
∵在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$中,当x＞0时,y随x的增大而增大,
∴当1≤x≤3时,y的取值范围为-2≤y≤-$\frac{2}{3}$.

17. (12 分)如图,一次函数$y = kx + b与反比例函数y = \frac{a}{x}的图象在第一象限交于A$,$B$两点,点$B的坐标为(3,2)$,连接$OA$,$OB$,过$B作BD \perp y$轴,垂足为$D$,交$OA于点C$,$OC = CA$。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求$\triangle AOB$的面积。

答案：
(1)如图,过点A作AF⊥x轴于点F,交BD于点E.
∵点B(3,2)在反比例函数y=$\frac{a}{x}$的图象上,
∴a=3×2=6,
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$.
∵B(3,2),
∴EF=2.
∵BD⊥y轴,OC=CA,
∴AE=EF=$\frac{1}{2}$AF,
∴AF=4,
∴点A的纵坐标为4,
∴A($\frac{3}{2}$,4).将A,B两点坐标分别代入y=kx+b中得$\begin{cases}3k+b=2\frac{3}{2}k+b=4\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3}\\b=6\end{cases}$,
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+6.
(2)设
(1)中所作的辅助线AF交OB于点G.
∵B(3,2),
∴直线OB的解析式为y=$\frac{2}{3}$x,
∴G($\frac{3}{2}$,1).
∵A($\frac{3}{2}$,4),
∴AG=4-1=3,
∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$.