《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (11 分)如图,在 $ \triangle OBD $ 中,$ OD = BD $,将 $ \triangle OBD $ 绕点 $ O $ 逆时针旋转一定角度后得到 $ \triangle OAC $,此时 $ B,D,C $ 三点恰好在一条直线上,且点 $ D $ 是 $ BC $ 的中点.
(1)求 $ \angle COD $ 的度数.
(2)求证:四边形 $ ODAC $ 是菱形.

答案：
(1)解:
∵$\triangle OAC$是由$\triangle OBD$旋转得到的,$\therefore OD=OC$,
∵点D是BC的中点,$\therefore CD=BD$,
∵$OD=BD$,$\therefore OD=CD=OC$,
$\therefore \triangle COD$是等边三角形,即$\angle COD=60^{\circ}$.
(2)证明:
∵$OD=BD$,$\angle CDO=60^{\circ}$,$\therefore \angle DOB=\angle B=30^{\circ}$.
∵$\triangle OAC$是由$\triangle OBD$旋转得到的,
$\therefore \angle COA=\angle DOB=30^{\circ}$,$\angle B=\angle CAO=30^{\circ}$,$BD=AC$,
则$\angle AOD=\angle COD-\angle COA=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$,$AC=BD=OD$,
$\therefore \angle CAO=\angle AOD$,$\therefore AC// OD$,且$AC=OD$,$\therefore$四边形ODAC是平行四边形.
∵$CO=OD$,$\therefore$四边形ODAC是菱形.

20. (11 分)如图,$ O $ 是正方形 $ ABCD $ 对角线的交点,将 $ \angle EOF $ 为 $ 90^{\circ} $ 的扇形 $ EOF $ 从图①位置顺时针旋转到图②位置,$ OE,OF $ 分别交 $ AD,AB $ 于点 $ G,H $.
(1)猜想 $ AG $ 与 $ BH $ 的数量关系;
(2)证明你的猜想.

答案：
(1)$AG=BH$.
(2)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
$\therefore \angle OAG=\angle OBH=45^{\circ}$,$OA=OB$,$\angle AOB=90^{\circ}$.
由题意,得$\angle GOH=90^{\circ}$,$\therefore \angle AOG=\angle BOH$.
在$\triangle AOG$和$\triangle BOH$中,$\left\{\begin{array}{l} \angle AOG=\angle BOH,\\ OA=OB,\\ \angle OAG=\angle OBH,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOG\cong \triangle BOH$,$\therefore AG=BH$.

21. (13 分)如图,将斜边长为 4 的 $ Rt \triangle AOB $ 放在直角坐标系 $ xOy $ 中,两条直角边分别与坐标轴重合,$ P $ 为斜边的中点. 现将此三角形绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 120^{\circ} $ 后,求点 $ P $ 的对应点的坐标.

答案：
解:如图,画出$Rt\triangle AOB$绕着O点顺时针旋转$120^{\circ}$得到的$Rt\triangle COD$,设CD交y轴于点M,连接OP,OQ,
$\therefore \angle AOD=\angle POQ=120^{\circ}$,
$\therefore \angle DOB=\angle AOD-\angle AOB=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$,
又$\angle D=\angle BAO=30^{\circ}$,
$\therefore CD// OB$,$\therefore CD\perp y$轴.
∵P是$Rt\triangle AOB$斜边的中点,$\therefore AP=OP$,
$\therefore \angle BAO=\angle POA=30^{\circ}$,$\therefore \angle MOQ=30^{\circ}$,
在$Rt\triangle OMQ$中,$OQ=OP=2$,
$\therefore MQ=1$,$OM=\sqrt{3}$,
则点P的对应点Q的坐标为$(1,-\sqrt{3})$.