《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

15. (8 分)如图,在$\odot O$ 中,直径 $AB \perp CD$,$E$ 为垂足,$AE = 8$,弦 $CD = 24$,求$\odot O$ 的半径.

答案： 15.解:连接OC，设$\odot O$的半径为r.$\because CD⊥AB$，$CD=24$，$\therefore CE=ED=12$.在$Rt△OCE$中，$OC^{2}=CE^{2}+OE^{2}$，即$r^{2}=12^{2}+(r - 8)^{2}$，解得$r = 13$.故$\odot O$的半径为13.

16. (10 分)如图,花园边墙上有一宽为 1 m 的矩形门 $ABCD$,量得门框对角线 $AC$ 的长为 2 m,现准备打掉部分墙体,使其变成以 $AC$ 为直径的圆弧形门,求打掉墙体后,弧形门的周长(含线段 $BC$).

答案： 16.解:设矩形外接圆的圆心为O，则O为AC的中点，连接OB，$\because AC=2m$，$BC=1m$，$\therefore OB=OC=BC=1m$，$\therefore △OBC$是等边三角形，$\therefore ∠BOC=60^{\circ }$.$\therefore$弧形门洞的周长(含线段BC)为$\frac{(360 - 60)π×1}{180}+1=(\frac{5}{3}π + 1)(m)$.

17. (10 分)已知在四边形 $ABCD$ 中,$E$ 是对角线 $AC$ 上一点,$DE = EC$,以 $AE$ 为直径的$\odot O$ 与边 $CD$ 相切于点 $D$. $B$ 点在$\odot O$ 上,连接 $OB$.
(1)求证：$DE = OE$；
(2)若 $AB // CD$,求证：四边形 $ABCD$ 是菱形.

答案： 17.证明:
(1)如图，连接OD，
∵CD是$\odot O$的切线，$\therefore OD⊥CD$，$\therefore ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠COD = 90^{\circ }$，$\because DE = EC$，$\therefore ∠1 = ∠2$，$\therefore ∠3 = ∠COD$，$\therefore DE = OE$.
(2)$\because OD = OE$，$\therefore OD = DE = OE$，$\therefore ∠3 = ∠COD = ∠DEO = 60^{\circ }$，$\therefore ∠2 = ∠1 = 30^{\circ }$，$\because OA = OB = OE$，$OE = DE = EC$，$\therefore OA = OB = DE = EC$，$\because AB// CD$，$\therefore ∠4 = ∠1$，$\therefore ∠1 = ∠2 = ∠4 = ∠OBA = 30^{\circ }$，$\therefore △ABO\cong △CDE(AAS)$，$\therefore AB = CD$，$\because AB// CD$，
∴四边形ABCD是平行四边形，④$\because ∠DAE=\frac{1}{2}∠DOE = 30^{\circ }$，$\therefore ∠1 = ∠DAE$，$\therefore CD = AD$，
∴四边形ABCD是菱形.

18. (12 分)如图,$AB$ 为$\odot O$ 的直径,$C$,$D$ 是$\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,过点 $C$ 作 $AD$ 的垂线 $CE$,交 $AD$ 的延长线于点 $E$.
(1)求证：$CE$ 是$\odot O$ 的切线；
(2)若$\odot O$ 的半径为 2,求图中阴影部分的面积.

答案： 18.
(1)证明:连接OC.
∵点C，D为$\widehat {AB}$的三等分点，$\therefore \widehat {AD}=\widehat {CD}=\widehat {BC}$，
∴易得$∠BOC = ∠BAD$，$\therefore OC// AD$.$\because CE⊥AD$，$\therefore CE⊥OC$，
∴CE为$\odot O$的切线.
(2)解:连接OD.$\because \widehat {AD}=\widehat {CD}=\widehat {BC}$，$\therefore ∠BOC = ∠AOD=\frac{1}{3}×180^{\circ } = 60^{\circ }$，$∠CAB = ∠DCA$，$\therefore CD// AB$，$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle OCD}$，
∴图中阴影部分的面积$=S_{扇形COD}=\frac{60×π×2^{2}}{360}=\frac{2π}{3}$.