《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

8. 如图,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 与 $ y $ 轴的正半轴相交,顶点在第四象限,对称轴为直线 $ x = 1 $。有下列结论：① $ b ＜ 0 $；② $ a + b ＜ 0 $；③ $ \frac{b}{c} ＜ -2 $。其中正确结论的个数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.0

答案： C　解析:
∵抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a≠0)$的开口向上,与y轴的交点在x轴的上方,
∴$a＞0$,$c＞0$.
∵对称轴为直线$x = 1$,
∴$-\frac{b}{2a}=1$,
∴$b = -2a＜0$,故①正确;
∴$a + b = a - 2a = -a＜0$,故②正确;
∵顶点在第四象限,
∴$\frac{4ac - b^{2}}{4a}＜0$,
∴$4ac - b^{2}＜0$,
∴$4×(-\frac{b}{2})·c - b^{2}＜0$,
∴$-2bc - b^{2}＜0$,
∴$2bc + b^{2}＞0$,
∴$2c + b＜0$,
∴$b＜ -2c$,
∴$\frac{b}{c}＜ -2$,故③正确.综上所述,正确的结论有3个.故选C.

9. 方程 $ (x + 5)(x - 7) = -26 $,化成一般形式是$x^{2}-2x - 9 = 0$,其二次项系数和一次项系数的和是-1。

答案： $x^{2}-2x - 9 = 0$　-1

10. 如图,对称轴平行于 $ y $ 轴的抛物线与 $ x $ 轴交于 $ (1, 0) $,$ (3, 0) $ 两点,则它的对称轴为直线$x = 2$。

答案： $x = 2$

11. 如图可以看作是由一个等腰直角三角形旋转若干次形成的,则每次旋转的度数都是$45^{\circ}$。

答案： $45^{\circ}$　解析:
∵一个周角是$360^{\circ}$,等腰直角三角形的一个锐角是$45^{\circ}$,
∴题图是由一个等腰直角三角形每次旋转$45^{\circ}$,旋转7次形成的.
∴每次旋转的度数都是$45^{\circ}$.

12. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + k + 1 = 0 $ 的两个实数根分别是 $ x_1 $,$ x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 = 24 $,则 $ k $ 的值是5。

答案： 5　解析:
∵$x_{1}$,$x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-6x + k + 1 = 0$的两个实数根,
∴$x_{1}x_{2}=k + 1$①,$x_{1}+x_{2}=-(-6)=6$②.
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=24$,
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=24$③.联立①②③,解得$k = 5$.

13. 如图,$ O $ 是矩形 $ ABCD $ 的对称中心,$ M $ 是 $ AD $ 的中点。若 $ BC = 24 $,$ OB = 13 $,则 $ OM $ 的长为______。

5

答案： 5　解析:
∵O是矩形ABCD的对称中心,
∴$AC = 2BO = 2×13 = 26$,$AD = BC = 24$.在$Rt\triangle ACD$中,根据勾股定理,得$CD = \sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{26^{2}-24^{2}} = 10$.
∵M是AD的中点,
∴OM是$\triangle ACD$的中位线,
∴$OM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10 = 5$.

14. (8 分)请选择适当的方法解下列一元二次方程：
(1) $ x(x - 6) = 5 $；
(2) $ x^2 + 2x - 1 = 0 $。

答案：
(1)整理,得$x^{2}-6x - 5 = 0$.
∵$\Delta = b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4×1×(-5)=56＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根,且$x=\frac{6\pm\sqrt{56}}{2}=3\pm\sqrt{14}$,
∴$x_{1}=3+\sqrt{14}$,$x_{2}=3-\sqrt{14}$.
(2)由原方程得$x^{2}+2x = 1$,
∴$x^{2}+2x + 1 = 1 + 1$,即$(x + 1)^{2}=2$,
∴$x + 1=\pm\sqrt{2}$,解得$x_{1}=-1+\sqrt{2}$,$x_{2}=-1-\sqrt{2}$.