《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

14. (10 分)如图,已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // BC $,$ EF // AB $,$ AE = 2CE $,$ AB = 6 $,$ BC = 9 $. 求：
(1)$ BF $ 和 $ BD $ 的长度；
(2)四边形 $ BDEF $ 的周长.

答案： 解:
(1)
∵AE=2CE，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{1}{2}$.
∵EF//AB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$.
∵BC=9，
∴BF=6.
∵DE//BC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{3}$.
∵AB=6，
∴BD=2.
(2)
∵EF//AB，DE//BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BD=EF=2，DE=BF=6，
∴四边形BDEF的周长为2×(2+6)=16.

15. (10 分)如图,已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点坐标如下表.
(1)将下表补充完整,并在直角坐标系中画出 $ \triangle A{'}B{'}C{'} $；


(2)观察两个三角形,可知 $ \triangle ABC \sim \triangle A{'}B{'}C{'} $,两个三角形是以原点为位似中心的位似三角形,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A{'}B{'}C{'} $ 的相似比为______.

答案：
解:
(1)B'(8,6)，C'(10,2).
如图所示，△A'B'C'即为所求.
　　　　　　
(2)△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2.

16. (10 分)反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数,且 $ k \neq 0 $)的图象经过点 $ A(1,3) $,$ B(3,m) $.
(1)求反比例函数的解析式及 $ B $ 点的坐标；
(2)在 $ x $ 轴上找一点 $ P $,使 $ PA + PB $ 的值最小,求满足条件的 $ P $ 点的坐标.

答案：
解:
(1)把A(1,3)的坐标代入$y=\frac{k}{x}$(k为常数，且k≠0)，得k =1×3=3，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$.
把B(3,m)的坐标代入$y=\frac{3}{x}$，得3m=3，解得m=1，
∴B点坐标为(3,1).
(2)作A点关于x轴的对称点A'，连接BA'交x轴于P点，连接AP，如图，则A'(1,−3).
　　　　　　　　　　　　　　　
此时PA+PB的值最小，为A'B的长度.
设直线BA'的解析式为y=mx+n(m≠0)，把A'(1,−3)，B(3,1)的坐标代入，
得$\begin{cases}m + n = -3\\3m + n = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2\\n = -5\end{cases}$，
∴直线BA'的解析式为y=2x−5.
当y=0时，2x−5=0，解得$x=\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为($\frac{5}{2}$,0).

17. (10 分)如图,已知 $ EC // AB $,$ \angle EDA = \angle ABF $. 求证：
(1)四边形 $ ABCD $ 是平行四边形；
(2)$ OA^2 = OE \cdot OF $.

答案： 证明:
(1)
∵EC//AB，
∴∠EDA=∠DAB.
∵∠EDA=∠ABF，
∴∠DAB=∠ABF，
∴AD//BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)
∵EC//AB，
∴△OAB∽△OED，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OB}{OD}$.
∵AD//BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{OF}{OA}$，
∴$\frac{OA}{OE}=\frac{OF}{OA}$，
∴OA²=OE·OF.