《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

16. (10 分)一个学习小组有 $3$ 名同学。
(1)求这个学习小组有 $2$ 名男同学和 $1$ 名女同学的概率。
(2)求这个学习小组至少有 $1$ 名男同学的概率。

答案：
解:画树状图如下:
共有8种等可能的结果.
(1)有2名男同学和1名女同学的结果有3种，所以有2名男同学和1名女同学的概率为$\frac{3}{8}$.
(2)至少有1名男同学的结果有7种，所以至少有1名男同学的概率为$\frac{7}{8}$.

17. (10 分)已知抛物线 $y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(1,0)$,$B(3,0)$,且过点 $C(0,-3)$。
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标。
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后的抛物线的顶点落在直线 $y = -x$ 上,并写出平移后抛物线的解析式。

答案： 解:
(1)
∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)(x−3)，把C(0,−3)代入上式，得3a=−3,解得a=−1.
∴抛物线的解析式为y=−(x−1)(x−3)，即y=−x²+4x−3.
∵y=−x²+4x−3=−(x−2)²+1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,1).
(2)先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=−x²，平移后抛物线的顶点坐标为(0,0)，落在直线y=−x上.(答案不唯一)

18. (10 分)如图,有一直径为 $1m$ 的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角是 $90^{\circ}$ 的扇形 $CAB$。
(1)被剪掉的阴影部分的面积是多少？
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,则该圆锥的底面半径是多少(结果用根号表示)？

答案： 解:
(1)连接AB.
∵∠C=90°,
∴AB为⊙O的直径.
∵AC=BC,∠C=90°,AB=1,
∴在Rt△ABC中,AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴S阴影=S⊙O−S扇形CAB=π×($\frac{1}{2}$)²−$\frac{90\pi\cdot(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}{360}$=$\frac{\pi}{8}$(m²).
(2)设圆锥的底面半径为r m,则2πr=$\frac{90\pi\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{180}$,
∴r=$\frac{\sqrt{2}}{8}$.故圆锥的底面半径为$\frac{\sqrt{2}}{8}$m.