《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (12 分)如图,$ \triangle ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(1, 1) $,$ B(4, 2) $,$ C(3, 4) $。
(1)请画出 $ \triangle ABC $ 向左平移 5 个单位长度后得到的 $ \triangle A_1B_1C_1 $；
(2)请画出与 $ \triangle ABC $ 关于原点对称的 $ \triangle A_2B_2C_2 $；
(3)在 $ x $ 轴上求作一点 $ P $,使 $ \triangle PAB $ 的周长最小,请画出 $ \triangle PAB $,并直接写出 $ P $ 的坐标。

答案：
解:
(1)△A₁B₁C₁如图所示.
(2)△A₂B₂C₂如图所示.
(3)△PAB如图所示，P(2,0).

20. (12 分)如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $,$ E $ 是斜边 $ BC $ 上的两点,$ \angle EAD = 45^{\circ} $,将 $ \triangle ADC $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $,得到 $ \triangle AFB $,连接 $ EF $。
(1)求证：$ EF = ED $；
(2)若 $ AB = 2\sqrt{2} $,$ CD = 1 $,求 $ FE $ 的长。

答案：
(1)证明:
∵∠BAC=90°,∠EAD=45°,
∴∠BAE+∠DAC=45°,
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°,得到△AFB,
∴∠BAF=∠DAC,AF=AD,CD=BF,∠ABF=∠C=45°,
∴∠BAF+∠BAE=45°=∠FAE,
∴∠FAE=∠DAE,又AD=AF,AE=AE,
∴△AEF≌△AED(SAS),
∴EF=ED.
(2)解:
∵AB=AC=2√2,∠BAC=90°,
∴BC=√(AB²+AC²)=4,
∵CD=1,
∴BF=1,BD=3,即BE+DE=3,
∵∠ABF=∠ABC=45°,
∴∠EBF=90°,
∴BF²+BE²=EF²,
∴1+(3−EF)²=EF²,
∴EF=5/3.

21. (13 分)如图,正方形 $ ABCD $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 30^{\circ} $ 后得到正方形 $ BEFG $,$ EF $ 与 $ AD $ 相交于点 $ H $,延长 $ DA $ 交 $ GF $ 于点 $ K $。若正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ \sqrt{3} $,求 $ AK $ 的长度。

答案：
解:连接BH,如图所示.
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°,由旋转的性质得AB=EB,∠CBE=30°,
∴∠ABE=60°,在Rt△ABH和Rt△EBH中，
∵BH=BH,AB=EB,
∴Rt△ABH≌Rt△EBH(HL),
∴∠ABH=∠EBH=1/2∠ABE=30°,AH=EH,
∴AH=AB·tan∠ABH=√3×√3/3=1,
∴EH=1,
∴FH=√3−1,在Rt△FKH中,∠FKH=30°,
∴KH=2FH=2(√3−1),
∴AK=KH−AH=2(√3−1)−1=2√3−3.