《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

18. (13 分)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞. 小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高. 于是,两人在灯下沿直线$NQ$移动,如图. 当小聪正好站在广场的$A$点(距$N$点 5 块地砖长)时,其影长$AD$恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的$B$点(距$N$点 9 块地砖长)时,其影长$BF$恰好为 2 块地砖长. 已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成,小聪的身高$AC$为 1.6 米,$MN \perp NQ$,$AC \perp NQ$,$BE \perp NQ$. 请你根据以上信息,求出小军身高$BE$的长(结果精确到 0.01 米).

答案： 解:由题意,得∠CAD = ∠MND = 90°,又∠CDA = ∠MDN,
∴△CAD∽△MND,
∴$\frac{CA}{MN}=\frac{AD}{ND}$,即$\frac{1.6}{MN}=\frac{1×0.8}{(5 + 1)×0.8}$,
∴MN = 9.6米.
∵∠EBF = ∠MNF = 90°,∠EFB = ∠MFN,
∴△EFB∽△MFN,
∴$\frac{EB}{MN}=\frac{BF}{NF}$,即$\frac{EB}{9.6}=\frac{2×0.8}{(2 + 9)×0.8}$,
∴EB≈1.75米，
∴小军的身高约为1.75米.

19. (14 分)如图,在菱形$ABCD$中,点$E$、$F分别在边AB$、$AD$上,$BE = DF$,$CE的延长线交DA的延长线于点G$,$CF的延长线交BA的延长线于点H$.
(1)求证：$\triangle BEC \sim \triangle BCH$；
(2)如果$BE^2 = AB \cdot AE$,求证：$AG = DF$.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD = CB,∠D = ∠B,CD//AB.
∵DF = BE,
∴△CDF≌△CBE(SAS),
∴∠DCF = ∠BCE;
∵CD//BH,
∴∠H = ∠DCF,
∴∠BCE = ∠H.又
∵∠B = ∠B,
∴△BEC∽△BCH.
(2)
∵$BE^{2}=AB\cdot AE$,
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{EB}$.
∵AG//BC,
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AG}{BC}$,
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{AG}{BC}$.
∵DF = BE,BC = AB,
∴AG = DF;

20. (14 分)如图,已知抛物线经过点$A(-1,0)$,$B(4,0)$,$C(0,2)$三点,点$D与点C关于x$轴对称,点$P是x$轴上的一个动点,设点$P的坐标为(m,0)$,过点$P作x轴的垂线l交抛物线于点Q$,交直线$BD于点M$,连接$QB$.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式.
(2)点$P在线段AB$上运动的过程中,是否存在点$Q$,使得以点$B$、$Q$、$M为顶点的三角形与\triangle BOD$相似？若存在,求出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)
∵抛物线过点A(−1,0),B(4,0),
∴可设抛物线的解析式为$y = a(x + 1)\cdot(x - 4)(a\neq0)$.将点C(0,2)的坐标代入,得−4a = 2,解得$a = -\frac{1}{2}$,则抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}(x + 1)(x - 4)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$.
(2)存在.如图所示. △DOB∽△MBQ,则$\frac{DO}{OB}=\frac{MB}{BQ}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
∵∠MBQ = 90°,
∴∠MBP + ∠PBQ = 90°
∵∠MPB = ∠BPQ = 90°,
∴∠MBP + ∠BMP = 90°,
∴∠BMP = ∠PBQ,
∴△MBQ∽△BPQ,
∴$\frac{BM}{BQ}=\frac{BP}{PQ}$,
∴$\frac{1}{2}=\frac{4 - m}{-\frac{1}{2}m^{2}+\frac{3}{2}m + 2}$,解得$m_{1}=3,m_{2}=4$.当m = 4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m = 3,此时点Q的坐标为(3,2).②当∠BQM = 90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM,此时m = −1,点Q的坐标为(−1,0).综上，点Q的坐标为(3,2)或(−1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.