《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

16. (9 分)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^{2}+x + 1 = 0$ 有两个实数根,求 $k$ 的取值范围.

答案： 解:由题可得$k-1≠0$,$1-4(k-1)\geqslant0$,解得$k\leqslant\dfrac{5}{4}$且$k≠1$.

17. (10 分)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(k + 1)x+\frac{1}{4}k^{2}+1 = 0$ 的两根是一个矩形两邻边的长.
(1)求实数 $k$ 的取值范围；
(2)当矩形的对角线长为 $\sqrt{5}$ 时,求实数 $k$ 的值.

答案： 解:
(1)$\Delta=[-(k+1)]^{2}-4\left(\dfrac{1}{4}k^{2}+1\right)=2k-3$.$\because$方程有两个实数根,$\therefore\Delta\geqslant0$,即$2k-3\geqslant0$,$\therefore k\geqslant\dfrac{3}{2}$.
(2)设方程的两根为$x_{1}$,$x_{2}$,则由题意,得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=k+1,\\x_{1}x_{2}=\dfrac{1}{4}k^{2}+1.\end{cases}$$\because$矩形的对角线长为$\sqrt{5}$,$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5$,$\therefore(k+1)^{2}-2\left(\dfrac{1}{4}k^{2}+1\right)=5$.整理,得$k^{2}+4k-12=0$.解得$k=2$或$k=-6$(不合题意,舍去).故$k$的值为$2$.

18. (10 分)受益于国家支持新能源汽车发展,某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,$2021$ 年利润为 $2$ 亿元,$2023$ 年利润为 $2.88$ 亿元.
(1)求该企业从 $2021$ 年到 $2023$ 年利润的年平均增长率.
(2)若利润的年平均增长率不变,该企业 $2024$ 年的利润能否超过 $3.5$ 亿元？

答案： 解:
(1)设该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率为$x$.根据题意,得$2(1+x)^{2}=2.88$,解得$x_{1}=0.2$,$x_{2}=-2.2$(舍去).故该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率为$20\%$.
(2)根据题意,得$2.88×(1+20\%)=3.456$(亿元)$＜3.5$亿元.故该企业2024年的利润不能超过3.5亿元.

19. (11 分)如图,在 $Rt\triangle ACB$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6cm$,$CB = 8cm$,点 $P,Q$ 同时从 $A,B$ 两点出发分别沿 $AC,BC$ 方向向点 $C$ 匀速运动,它们的速度都是 $1cm/s$,当点 $P$ 运动到点 $C$ 时,$P,Q$ 两点立即停止运动. 经过多长时间 $\triangle PCQ$ 的面积为 $12cm^{2}$？

答案： 解:设经过$x\ s$后$\triangle PCQ$的面积为$12\ cm^{2}$.由题意得$\dfrac{1}{2}(8-x)(6-x)=12$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=12$,$\because0\leqslant x\leqslant6$,$\therefore x=2$.故经过$2\ s$后$\triangle PCQ$的面积为$12\ cm^{2}$.