《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

15. (10 分)如图,A、B 是双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 上的点,点 A 的坐标是 $ (1,4) $,B 是线段 AC 的中点。
(1)求 k 的值；
(2)求 $ \triangle OAC $ 的面积。

答案：
(1)
∵A是双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上的点，且点A的坐标是$(1,4)$，
∴$k=1×4=4$。
(2)作$AD⊥x$轴于点D，$BE⊥x$轴于点E。
∵$A(1,4)$，
∴$AD=4$，$OD=1$。又
∵B为AC的中点，$AD// BE$，
∴$BE=\frac{1}{2}AD=2$，且$CE=DE$。
∴点B的纵坐标为2，
∴点B的坐标为$(2,2)$。
∴$DE=CE=2−1=1$，即$OC=3$，
∴$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}AD\cdot OC=\frac{1}{2}×4×3=6$。

16. (10 分)已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象与一次函数 $ y = kx + m $ 的图象交于点 $ (2,1) $。
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)判断 $ P(-1,-5) $ 是否在一次函数 $ y = kx + m $ 的图象上,并说明理由。

答案：
(1)
∵$y=\frac{k}{x}$的图象经过$(2,1)$，
∴$k=2$。
∵$y=kx+m$的图象经过$(2,1)$，
∴$1=2×2+m$，
∴$m=−3$。
∴反比例函数和一次函数的解析式分别是$y=\frac{2}{x}$和$y=2x−3$。
(2)点$P(−1,−5)$在一次函数$y=2x−3$的图象上。理由如下:当$x=−1$时，$y=2x−3=2×(−1)−3=−5$。
∴点$P(−1,−5)$在一次函数$y=2x−3$的图象上。

17. (10 分)如图,已知一次函数 $ y_1 = kx + b $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} $ 的图象交于 $ A(2,4) $,$ B(-4,n) $ 两点。
(1)分别求出 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 的解析式；
(2)写出 $ y_1 = y_2 $ 时,x 的值；
(3)写出 $ y_1 ＞ y_2 $ 时,x 的取值范围。

答案：
(1)将$A(2,4)$代入反比例函数的解析式$y_{2}=\frac{m}{x}$，得$m=8$，
∴反比例函数的解析式为$y_{2}=\frac{8}{x}$。将$B(−4,n)$代入反比例函数的解析式$y_{2}=\frac{8}{x}$，得$n=−2$，即$B(−4,−2)$。将A、B的坐标代入一次函数的解析式$y_{1}=kx+b$，得$\left\{\begin{array}{l} 2k+b=4\\ -4k+b=-2\end{array}\right. $，解得$\left\{\begin{array}{l} k=1\\ b=2\end{array}\right. $，则一次函数的解析式为$y_{1}=x+2$。
(2)根据图象得$y_{1}=y_{2}$时，x的值为2或−4。
(3)根据图象得$y_{1}＞y_{2}$时，x的取值范围为$−4＜x＜0$或$x＞2$。

18. (10 分)已知直线 $ y = -3x + 3 $ 与 x 轴,y 轴分别交于点 B,A,以线段 AB 为边在第一象限内作正方形 ABCD,点 C 正好落在曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 上。
(1)求 k 的值；
(2)求点 D 的坐标。

答案：

(1)由题可得$OA=3$，$OB=1$。过点C作$MN⊥x$轴，过点D作MN的垂线，垂足为M。由题可知$∠ABO+∠OAB=90^{\circ}$，$∠ABO+∠CBN=90^{\circ}$，
∴$∠OAB=∠CBN$。在$△OAB$与$△NBC$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠OAB=∠NBC\\ ∠AOB=∠BNC\\ AB=BC\end{array}\right. $，
∴$△OAB\cong △NBC(AAS)$，
∴$OA=NB=3$，$OB=CN=1$，
∴$C(4,1)$。
∵点C在双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上，
∴$k=4×1=4$。
(2)同
(1)可证得$△BCN\cong △CDM(AAS)$，
∴$DM=CN=1$，$MC=BN=3$，
∴点$M(4,4)$，
∴点$D(3,4)$。