《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (11 分)如图为某公园“水上滑梯”的侧面图,其中 $ BC $ 段可看成是一段双曲线,矩形 $ AOEB $ 为向上攀爬的梯子,$ OA = 5 $ 米,进口 $ AB // OD $,且 $ AB = 2 $ 米,出口 $ C $ 点距水面的距离 $ CD = 1 $ 米,求 $ B $、$ C $ 之间的水平距离 $ DE $ 的长度.

答案：
∵四边形AOEB是矩形,
∴BE = OA = 5米,AB = 2米,
∴B(2,5).
设双曲线的解析式为y=$\frac{k}{x}$,将点B的坐标代入,得5 =$\frac{k}{2}$,
∴k = 10,
∴双曲线解析式为y=$\frac{10}{x}$.
∵CD = 1米,
∴当y = 1时,x = 10,
∴OD = 10米.
∴DE = OD - OE = 10 - 2 = 8(米).
∴B、C之间的水平距离DE的长度为8米.

20. (12 分)小明根据学习函数的经验,对 $ y = x + \frac{1}{x} $ 的图象与性质进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整：
(1) 函数 $ y = x + \frac{1}{x} $ 的自变量 $ x $ 的取值范围是x≠0.
(2) 下表列出了 $ y $ 与 $ x $ 的几组对应值,请写出 $ m $,$ n $ 的值：$ m = $$\frac{10}{3}$,$ n = $$\frac{10}{3}$.

(3) 画出该函数的图象.
(4) 结合函数的图象解答下列问题：
① 当 $ y = -\frac{17}{4} $ 时,$ x = $- 4或 -$\frac{1}{4}$.
② 写出该函数的一条性质：函数图象在第一、三象限且关于原点对称.
③ 若方程 $ x + \frac{1}{x} = t $ 有两个不相等的实数根,求 $ t $ 的取值范围.
∵x +$\frac{1}{x}$= t有两个不相等的实数根,
∴t＜ - 2或t＞2.

答案：
(1)x≠0
(2)当x =$\frac{1}{3}$时,y = x +$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{3}$,当x = 3时,y = x +$\frac{1}{x}$=$\frac{10}{3}$,故m =$\frac{10}{3}$,n =$\frac{10}{3}$.
(3)图略.
(4)①当y = -$\frac{17}{4}$时,有x +$\frac{1}{x}$= -$\frac{17}{4}$,解得x₁ = - 4,x₂ = -$\frac{1}{4}$.故答案为 - 4或 -$\frac{1}{4}$.
②函数图象在第一、三象限且关于原点对称(答案不唯一)
③
∵x +$\frac{1}{x}$= t有两个不相等的实数根,
∴t＜ - 2或t＞2.

21. (13 分)如图,在平面直角坐标系中,$ y = mx $ 和 $ y = \frac{m}{x}(m ＞ 0) $ 图象的交点为 $ A $、$ B $,$ BD \perp y $ 轴于点 $ D $,$ S_{\triangle ABD} = 4 $.
(1) 求 $ m $ 的值.
(2) 将直线 $ AB $ 向下平移,问：直线 $ AB $ 向下平移多少个单位长度时与经过 $ B $、$ D $、$ A $ 三点的抛物线刚好只有一个交点？并求出交点坐标.

答案：
(1)
∵y = mx和y =$\frac{m}{x}$(m＞0)图象的交点为A、B,
∴$\begin{cases}y = mx\\y = \frac{m}{x}\end{cases}$,解得x = ±1.
∴A(1,m),B( - 1, - m),
∴S△ABD =$\frac{1}{2}$×1×(m + m)=4,解得m = 4.
(2)由
(1)可得A(1,4),B( - 1, - 4),D(0, - 4).
设抛物线的解析式为y = ax² + bx + c(a≠0),把A(1,4),B( - 1, - 4),D(0, - 4)分别代入,得$\begin{cases}a + b + c = 4\\a - b + c = - 4\\c = - 4\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 4\\b = 4\\c = - 4\end{cases}$,
∴抛物线解析式为y = 4x² + 4x - 4.
设直线AB向下平移k个单位长度时与抛物线只有一个交点,则平移后所得直线A'B'的解析式为y = 4x - k.
∵抛物线与直线A'B'只有一个交点,
∴方程4x² + 4x - 4 = 4x - k有两个相等的实数根,
∴Δ = 0 - 16(k - 4)=0,解得k = 4,则方程的解为x₁ = x₂ = 0,
∴直线AB向下平移4个单位长度时与经过B、D、A三点的抛物线刚好有一个交点,交点坐标为(0, - 4).