《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (12 分)某商场出售一批进价为 2 元的贺卡,在市场营销中发现,这种商品的日销售单价 x(元)与日销售量 y(个)之间的关系如下：

(1)根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对 $ (x,y) $ 的对应点。
(2)猜测并确定 y 与 x 之间的函数关系式。
(3)设销售这种贺卡的销售利润为 w 元,若物价局规定这种贺卡的售价不能超过 10 元/个,则当日销售单价定为多少元时,才能获得最大日销售利润？

答案：

(1)描点如图。

(2)根据图象猜测，y与x成反比例函数关系。设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，把点$(3,20)$的坐标代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=60$。
∴$y=\frac{60}{x}(x≥2)$。把点$(4,15)$，$(5,12)$，$(6,10)$的坐标代入上式均成立。
∴y与x之间的函数关系式为$y=\frac{60}{x}(x≥2)$。
(3)由
(2)及已知得，$w=(x−2)\cdot y=(x−2)\cdot \frac{60}{x}=60-\frac{120}{x}$ $(2≤x≤10)$。当$x=10$时，w取得最大值。故当日销售单价定为10元时，才能获得最大日销售利润。

20. (12 分)如图,$ P_1 $、$ P_2 $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 在第一象限的图象上的两点,点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (4,0) $。若 $ \triangle P_1OA_1 $ 与 $ \triangle P_2A_1A_2 $ 均为等腰直角三角形,其中点 $ P_1 $、$ P_2 $ 为直角顶点。
(1)求反比例函数的解析式。
(2)①求点 $ P_2 $ 的坐标。
②根据图象直接写出在第一象限内,当 x 满足什么条件时,图象经过点 $ P_1 $、$ P_2 $ 的一次函数的函数值大于反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的函数值。

答案：

(1)过点$P_{1}$作$P_{1}B⊥x$轴，垂足为B。
∵点$A_{1}$的坐标为$(4,0)$，$△P_{1}OA_{1}$为等腰直角三角形，
∴$OB=2$，$P_{1}B=\frac{1}{2}OA_{1}=2$，
∴$P_{1}$的坐标为$(2,2)$。将$P_{1}$的坐标代入$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，得$k=2×2=4$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。

(2)①过点$P_{2}$作$P_{2}C⊥x$轴，垂足为C。
∵$△P_{2}A_{1}A_{2}$为等腰直角三角形，
∴$P_{2}C=A_{1}C$。设$P_{2}C=A_{1}C=a$，则$P_{2}$的坐标为$(4+a,a)$，将$P_{2}$的坐标代入反比例函数的解析式$y=\frac{4}{x}$，得$a=\frac{4}{4+a}$，解得$a=2\sqrt{2}-2$或$a=-2\sqrt{2}-2$(舍去)。
∴点$P_{2}$的坐标为$(2+2\sqrt{2},2\sqrt{2}-2)$。
②在第一象限内，当$2＜x＜2+2\sqrt{2}$时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。

21. (13 分)家用电灭蚊器的发热部分使用了 PTC 发热材料,它的电阻 $ R(k\Omega) $ 随温度 $ T(^{\circ}C) $(在一定范围内)变化的大致图象如图所示。通电后,发热材料的温度在由室温 $ 10^{\circ}C $ 上升到 $ 30^{\circ}C $ 的过程中,电阻与温度成反比例关系,且在温度达到 $ 30^{\circ}C $ 时,电阻下降到最小值；随后电阻随温度的升高而增大,温度每上升 $ 1^{\circ}C $,电阻增加 $ \frac{4}{15}k\Omega $。
(1)求 R 和 T 之间的解析式。
(2)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超过 $ 4k\Omega $？

答案：
(1)
∵温度在由室温$10^{\circ}C$上升到$30^{\circ}C$的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴当$10≤T≤30$时，设解析式为$R=\frac{k}{T}$。将$(10,6)$代入上式，得$6=\frac{k}{10}$，
∴$k=6×10=60$，
∴$R=\frac{60}{T}$。将$T=30$代入上式，得$R=2$。
∴温度为$30^{\circ}C$时，电阻R的最小值为2kΩ。
∵随后电阻随温度的升高而增大，温度每上升$1^{\circ}C$，电阻增大$\frac{4}{15}kΩ$，
∴当$T＞30$时，$R=2+\frac{4}{15}(T−30)=\frac{4}{15}T−6$。故R和T之间的解析式为$R=\begin{cases}\frac{60}{T}(10\leq T\leq30)\frac{4}{15}T−6(T＞30)\end{cases}$。
(2)把$R=4$代入$R=\frac{4}{15}T−6$，得$T=37.5$，把$R=4$代入$R=\frac{60}{T}$，得$T=15$，
∴温度在$15^{\circ}C\sim37.5^{\circ}C$时，发热材料的电阻不超过4kΩ。