《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

15. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,$\odot P与x轴交于A$,$B$两点,点$P的坐标为(3,-1)$,$AB = 2\sqrt{3}$.
(1)求$\odot P$的半径.
(2)将$\odot P$向下平移,求$\odot P与x$轴相切时平移的距离.

答案：

(1)解:作 PC⊥AB 于点 C,连接 AP,如图所示.

根据垂径定理,得 AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$.在 Rt△PAC 中,根据勾股定理,得 PA=$\sqrt{PC^{2}+AC^{2}}$=$\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}$=2.
∴⊙P 的半径为 2.
(2)解:将⊙P 向下平移,当⊙P 与 x 轴相切时,点 P 到 x 轴的距离等于半径.
∴平移的距离为 2-1=1.

16. (12 分)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$CD平分\angle ACB交AB于点D$,$O是BC$上一点,经过$C$,$D两点的\odot O分别交AC$,$BC于点E$,$F$,$AD = \sqrt{3}$,$\angle ADC = 60^{\circ}$,求劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长.

答案：
解:如图,连接 DF,OD,

∵CF 是⊙O 的直径,
∴∠CDF=90°,
∵∠ADC=60°,∠A=90°,
∴∠ACD=30°,
∵CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,
∴∠DCF=30°,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=30°,
∴∠COD=120°,在 Rt△CAD 中,CD=2AD=2$\sqrt{3}$,在 Rt△FCD 中,CD$^{2}$+DF$^{2}$=CF$^{2}$,又 DF=$\frac{1}{2}$CF,
∴12+$\frac{1}{4}$CF$^{2}$=CF$^{2}$,解得 CF=4,
∴⊙O 的半径=2,
∴劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长=$\frac{120\pi×2}{180}$=$\frac{4}{3}\pi$.

17. (12 分)如图,点$B$,$C$,$D$都在半径为 6 的$\odot O$上,过点$C作AC// BD交OB的延长线于点A$,连接$CD$,已知$\angle CDB = \angle OBD = 30^{\circ}$.
(1)求证：$AC是\odot O$的切线.
(2)求弦$BD$的长.
(3)求图中阴影部分的面积.

答案：
(1)证明:连接 OC,交 BD 于 E.
∵∠CDB=30°,
∴∠COB=2∠CDB=60°,
∵∠OBD=∠CDB=30°,
∴∠OEB=90°,
∴OE⊥BD,又 AC//BD,
∴OC⊥AC,又
∵点 C 在⊙O 上,
∴AC 是⊙O 的切线.
(2)解:由
(1)知,OC⊥AC.
∵AC//BD,
∴OC⊥BD,
∴BE=DE.在 Rt△BEO 中,∠OBE=30°,OB=6,
∴OE=3,
∴BD=2BE=2$\sqrt{6^{2}-3^{2}}$=6$\sqrt{3}$.
(3)解:易证△OEB≌△CED,
∴S$_{阴影}$=S$_{扇形BOC}$=$\frac{60\pi×6^{2}}{360}$=6π.