《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

19. (12 分)如图,BD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径,且∠BAE = ∠C.
(1)求证：AE 是⊙O 的切线.
(2)若 AE//BC,BC = $2\sqrt{7}$,AC = $2\sqrt{2}$,求 BD,AD 的长.

答案：

(1)证明:如图，连接OA交BC于点F.
∵BD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴OA=OD,
∴∠D=∠DAO.
∵∠D=∠C,
∴∠C=∠DAO.
∵∠BAE=∠C,
∴∠BAE=∠DAO.
∵∠BAD=90°,即∠DAO+∠BAO=90°,
∴∠BAE+∠BAO=90°,即∠OAE=90°,
∴AE⊥OA.
∵点A在⊙O上,
∴AE是⊙O的切线.
(2)解:
∵AE//BC,AE⊥OA,
∴OA⊥BC;
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$,FB=$\frac{1}{2}$BC,
∴AB=AC;
∵BC=2$\sqrt{7}$,AC=2$\sqrt{2}$,
∴BF=$\sqrt{7}$,AB=2$\sqrt{2}$在Rt△ABF中,AF= $\sqrt{AB²−BF²}$= $\sqrt{8−7}$=1.在Rt△OFB中,OB²=BF²+(OB−AF)²,即OB²=($\sqrt{7}$)²+(OB−1)²,
∴OB=4,
∴BD=8.在Rt△ABD中,AD= $\sqrt{BD²−AB²}$=2 $\sqrt{14}$

20. (12 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = $90^{\circ}$,点 D 在 AC 边上,以 AD 为直径作⊙O 交 BD 的延长线于点 E,CE = BC.
(1)求证：CE 是⊙O 的切线；
(2)若 CD = 2,BD = $2\sqrt{5}$,求⊙O 的半径.

答案：

(1)证明:如图，连接OE:
∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠5=90°.
∵CE=BC,
∴∠1=∠2.
∵OE=OD,
∴∠3=∠4.又∠4=∠5,
∴∠3=∠5,
∴∠2+∠3=90°,即∠OEC=90°,
∴OE⊥CE.
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
(2)解:在Rt△BCD中，
∵∠DCB=90°,CD=2,BD=2$\sqrt{5}$,
∴BC=CE=4.设⊙O的半径为r,则OD=OE=r,OC=r+2.在Rt△OEC中，
∵∠OEC=90°,
∴OE²+CE²=OC²,即r²+4²=(r+2)²,解得r=3,
∴⊙O的半径为3.

21. (13 分)如图,在⊙O 中,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,P 是$\overset{\frown}{BC}$的中点,过点 P 作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 D.
(1)求证：DP 是⊙O 的切线；
(2)若 AC = 5,AB = 13,求 AP 的长.

答案：

(1)证明:连接OP,如图①.
∵OP=OA,
∴∠1=∠2.
∵P为$\overset{\frown}{BC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{PC}$=$\overset{\frown}{PB}$,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴OP//DA.
∵∠D=90°,
∴∠OPD=90°.又
∵OP为⊙O的半径，
∴DP为⊙O的切线.
(2)解:连接BC,交于OP于点G,如图②.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵AC=5,AB=13,
∴BC= $\sqrt{13²−5²}$=12,则CG=6.易证四边形DCGP为矩形，
∵OG=$\frac{1}{2}$AC=2.5,OP=$\frac{1}{2}$AB=6.5,
∴GP=DC=6.5−2.5=4,
∴AD=5+4=9.在Rt△ADP中,AP=$\sqrt{AD²+DP²}$=$\sqrt{9²+6²}$=3 $\sqrt{13}$