《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

14. (10 分)如图,已知$AD = 3cm$,$AC = 6cm$,$BC = 9cm$,$\angle B = 36^{\circ}$,$\angle D = 117^{\circ}$,$\triangle ABC \sim \triangle DAC$.
(1)求$AB$的长；
(2)求$\angle BAD$的大小.

答案： 解:
(1)
∵△ABC∽△DAC,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC}$.又
∵AD = 3cm,AC = 6cm,BC = 9cm,
∴AB = 4.5cm.
(2)
∵△ABC∽△DAC,
∴∠DAC = ∠B = 36°,∠BAC = ∠D = 117°,
∴∠BAD = ∠DAC + ∠BAC = 36° + 117° = 153°.

15. (10 分)如图,在等边三角形$ABC$中,点$D$,$E分别在BC$,$AB$上,且$\angle ADE = 60^{\circ}$.
求证：$\triangle ADC \sim \triangle DEB$.

答案： 证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B = ∠C = 60°,
∴∠ADB = ∠CAD + ∠C = ∠CAD + 60°.
∵∠ADE = 60°,
∴∠ADB = ∠BDE + 60°,
∴∠CAD = ∠BDE,
∴△ADC∽△DEB.

16. (12 分)如图,将$\triangle ABC$在网格中(网格中每个小正方形的边长均为 1)依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到$\triangle A_3B_3C_3$.
(1)$\triangle ABC与\triangle A_1B_1C_1$的相似比等于______.
(2)在网格中画出$\triangle A_1B_1C_1关于y轴的轴对称图形\triangle A_2B_2C_2$.
(3)请写出$\triangle A_3B_3C_3是由\triangle A_2B_2C_2$怎样平移得到的.
(4)设点$P(x,y)为\triangle ABC$内一点,依次经过上述三次变换后,点$P$的对应点的坐标为______.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{2}$
(2)如图所示.
(3)△A₃B₃C₃是由△A₂B₂C₂沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度得到的.
(4)(−2x−2,2y+2)

17. (12 分)已知两个直角三角形的三边长分别为 3,4,$m$和 6,8,$n$,且这两个直角三角形不相似,求$m + n$的值.

答案： 解:在第一个直角三角形中，若m是直角边,则$m = \sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$;若m是斜边,则$m = \sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.在第二个直角三角形中，若n是直角边,则$n = \sqrt{8^{2}-6^{2}}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$;若n是斜边,则$n = \sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$.又因为两个直角三角形不相似，所以$m = 5,n = 2\sqrt{7}$或$m = \sqrt{7},n = 10$,当$m = 5,n = 2\sqrt{7}$时,$m + n = 5 + 2\sqrt{7}$,当$m = \sqrt{7},n = 10$时,$m + n = 10 + \sqrt{7}$.