《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

15. (10 分)已知 $ x = n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ m x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0 $ 的一个根,若 $ m n ^ { 2 } - 4 n + m = 6 $,求 $ m $ 的值。

答案： 解:依题意，得mr² - 4n - 5 = 0，
∴mr² - 4n = 5，
∵mr² - 4n + m = 6，
∴5 + m = 6，
∴m = 1。

16. (10 分)已知二次函数图象的顶点是 $ ( 2, - 1 ) $,且经过点 $ ( 0, 2 ) $,求这个二次函数的解析式。

答案： 解:设二次函数的解析式为y = a(x - 2)² - 1，把(0,2)代入，得a(0 - 2)² - 1 = 2，解得a = $\frac{3}{4}$，所以二次函数的解析式为y = $\frac{3}{4}$(x - 2)² - 1。

17. (10 分)某品牌钢笔进价每支 8 元,按每支 10 元出售时,每天能卖出 20 支。市场调查发现：如果每支钢笔涨价 1 元,每天就少卖出 2 支。为了每天获得最大利润,其售价应定为多少？

答案： 解:设售价定为x元，利润为w元，由题意得w = (x - 8)[20 - 2(x - 10)] = (x - 8)(40 - 2x) = -2(x - 14)² + 72，
∴当售价定为14元时，w的值最大。

18. (10 分)如图,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ A C = B C = 2 $,在以 $ A B $ 的中点 $ O $ 为坐标原点,$ A B $ 所在直线为 $ x $ 轴建立的平面直角坐标系中,将 $ \triangle A B C $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转,使点 $ A $ 旋转至 $ y $ 轴正半轴上的 $ A ^ { \prime } $ 处,求图中阴影部分的面积。

答案： 解:
∵∠ACB = 90°，AC = BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB = 2OA = 2OB = $\sqrt{2}$AC = 2$\sqrt{2}$，
∵△ABC绕点B顺时针旋转到△A'BC'处，
∴A'B = AB，
∴A'B = 2OB，
∴∠OA'B = 30°，
∴∠A'BA = 60°，即旋转角为60°，
∴S_{阴影}= S_{扇形ABA'}+ S_{△A'BC'}- S_{△ABC}- S_{扇形CBC'}= S_{扇形ABA'}- S_{扇形CBC'}= $\frac{60π·(2\sqrt{2})²}{360}$ - $\frac{60π·2²}{360}$ = $\frac{4}{3}$π - $\frac{2}{3}$π = $\frac{2}{3}$π。