《2025年提分教练九年级数学上册人教版》

7. 如图,$AB是\odot O$的弦,$AC是\odot O$的切线,$A$为切点,$BC$经过圆心,若$\angle OBA = 25^{\circ}$,则$\angle BCA$的度数为(C)

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

答案： C 解析:连接 OA.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=25°,
∴∠AOC=∠OBA+∠OAB=50°,
∵AC 是⊙O 的切线,
∴∠OAC=90°,
∴∠BCA=40°.

8. 如图,$PA$,$PB分别切圆O于点A$,$B$,$AC是\odot O$的直径,连接$AB$,$BC$,$OP$,则与$\angle APO$相等的角的个数是(B)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B

9. 如图,已知四边形$ABCD是\odot O$的内接四边形,$\angle B = 140^{\circ}$,则$\angle AOC = $80°.

答案： 80° 解析:
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∠B=140°,
∴∠D=180°-∠B=40°,
∴∠AOC=2∠D=80°.

10. 如图,$AB$、$AC$、$BD都是\odot O$的切线,$P$、$C$、$D$为切点,如果$AB = 5$,$AC = 3$,那么$BD$的长为______.

2

答案： 2

11. 已知三角形的三边长分别为 3 cm、4 cm、5 cm,则这个三角形外接圆的半径是2.5 cm.

答案： 2.5 cm

12. 如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形被称为等边扇形,那么半径为 2 的等边扇形的面积为2.

答案： 2

13. 如图,$MN$是半径为 1 的$\odot O$的直径,点$A在\odot O$上,$\angle AMN = 30^{\circ}$,$B为\overset{\frown}{AN}$的中点,$P是直径MN$上一动点,则$PA + PB$的最小值为______.

答案：
$\sqrt{2}$ 解析:作点 B 关于直线 MN 的对称点为 B',连接 OA、OB、OB'、AB',如图,则 AB'与 MN 的交点即为 PA+PB 的值最小时的点P,且 PA+PB 的最小值=AB'.

∵∠AMN=30°,OA=OM,
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°,
∵点 B 为劣弧$\overset{\frown}{AN}$的中点,
∴∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON=$\frac{1}{2}$×60°=30°,由对称性可得∠B'ON=∠BON=30°,
∴∠AOB'=∠AON+∠B'ON=60°+30°=90°,
∴△AOB'是等腰直角三角形,
∴AB'=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$,即 PA+PB 的最小值为$\sqrt{2}$.

14. (9 分)如图,已知$\odot O的直径AB与弦AC的夹角为30^{\circ}$,过点$C作\odot O的切线交AB的延长线于点D$,$OD = 30$ cm,求直径$AB$的长.

答案： 解:
∵∠A=30°,OC=OA,
∴∠ACO=∠A=30°,
∴∠COD=60°,
∵DC 切⊙O 于 C,
∴∠OCD=90°,
∴∠D=30°,
∵OD=30 cm,
∴OC=$\frac{1}{2}$OD=15 cm,
∴AB=2OC=30 cm.