《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

15. (1) 计算下列各式,并在横线上填“$＞$”“$＜$”或“$=$”：
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}}$=$2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{3 + \frac{3}{8}}$=$3\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{4 + \frac{4}{15}}$=$4\sqrt{\frac{4}{15}}$；
$\sqrt{5 + \frac{5}{24}}$=$5\sqrt{\frac{5}{24}}$；
$\sqrt{6 + \frac{6}{35}}$=$6\sqrt{\frac{6}{35}}$；
……
(2) 你从(1)中能发现什么规律？请用含有自然数$n$的式子将你发现的规律表示出来,并注明$n$的取值范围。
$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}(n\geqslant 2)$
(3) 利用你发现的规律再写出两组相等的式子,验证所发现的规律是正确的。
$\sqrt{7+\frac{7}{48}}=7\sqrt{\frac{7}{48}}$，$\sqrt{8+\frac{8}{63}}=8\sqrt{\frac{8}{63}}$（答案不唯一）
(4) 试说明你所表示的式子的正确性。
理由如下：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n(1+\frac{1}{n^{2}-1})}=\sqrt{n\cdot \frac{n^{2}}{n^{2}-1}}=\sqrt{n^{2}\cdot \frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n^{2}}\cdot \sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$

答案：
(1)=，=，=，=，=，=；
(2)$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}(n\geqslant 2)$；
(3)略；
(4)理由如下：$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n(1+\frac{1}{n^{2}-1})}=\sqrt{n\cdot \frac{n^{2}}{n^{2}-1}}=\sqrt{n^{2}\cdot \frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n^{2}}\cdot \sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$

1. 计算：$\sqrt{2\frac{1}{3}}÷\sqrt{\frac{1}{6}}=$$\sqrt{14}$.

答案： $\sqrt{14}$.

2. 若 $x＜0$,则 $\sqrt{xy^{3}}÷ y= $$-\sqrt{xy}$.

答案： $-\sqrt{xy}$.