《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

3. 方程 $9(x + 1)^{2}-4(x - 1)^{2}= 0$ 的正确解法是 【B】
A.直接开方得 $3(x + 1)= 2(x - 1)$
B.分解因式是 $[3(x + 1)+2(x - 1)][3(x + 1)-2(x - 1)]= 0$
C.化为一般式得 $13x^{2}+5 = 0$
D.直接得 $x + 1 = 0$ 或 $x - 1 = 0$

答案： B

4. 若 $(x + 3)(x - 5)= 0$,则 $x$ 的值为-3或5。

答案： -3或5

5. 方程 $x^{2}= -x$ 的根是0或-1。

答案： 0或-1

6. 用因式分解法解下列关于 $x$ 的方程:
(1) $x^{2}-6x = 0$；
(2) $(\sqrt{2}-2)x^{2}= (\sqrt{2}-2)x$；
(3) $\frac{1}{4}(x - 1)^{2}= \frac{1}{9}(x + 1)^{2}$；
(4) $4(x - 1)^{2}= 2(x - 1)$。

答案： $(1)$ $x^{2}-6x = 0$
解：对$x^{2}-6x = 0$提取公因式$x$，得到$x(x - 6)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x = 0$或$x - 6 = 0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=6$。
$(2)$ $(\sqrt{2}-2)x^{2}=(\sqrt{2}-2)x$
解：移项可得$(\sqrt{2}-2)x^{2}-(\sqrt{2}-2)x = 0$，提取公因式$(\sqrt{2}-2)x$，得到$(\sqrt{2}-2)x(x - 1)=0$。
因为$\sqrt{2}-2\neq0$，所以$x = 0$或$x - 1 = 0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=1$。
$(3)$ $\frac{1}{4}(x - 1)^{2}=\frac{1}{9}(x + 1)^{2}$
解：移项得$\frac{1}{4}(x - 1)^{2}-\frac{1}{9}(x + 1)^{2}=0$。
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a=\frac{1}{2}(x - 1)$，$b=\frac{1}{3}(x + 1)$，则$\left[\frac{1}{2}(x - 1)+\frac{1}{3}(x + 1)\right]\left[\frac{1}{2}(x - 1)-\frac{1}{3}(x + 1)\right]=0$。
先化简$\frac{1}{2}(x - 1)+\frac{1}{3}(x + 1)=\frac{3(x - 1)+2(x + 1)}{6}=\frac{3x-3 + 2x + 2}{6}=\frac{5x-1}{6}$；
再化简$\frac{1}{2}(x - 1)-\frac{1}{3}(x + 1)=\frac{3(x - 1)-2(x + 1)}{6}=\frac{3x-3-2x - 2}{6}=\frac{x-5}{6}$。
所以$\frac{5x - 1}{6}\cdot\frac{x - 5}{6}=0$，即$5x - 1 = 0$或$x - 5 = 0$。
解得$x_{1}=\frac{1}{5}$，$x_{2}=5$。
$(4)$ $4(x - 1)^{2}=2(x - 1)$
解：移项得$4(x - 1)^{2}-2(x - 1)=0$，提取公因式$2(x - 1)$，得到$2(x - 1)[2(x - 1)-1]=0$，即$2(x - 1)(2x - 2 - 1)=0$，也就是$2(x - 1)(2x - 3)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x - 1 = 0$或$2x - 3 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$$x_{1}=0$，$x_{2}=6$；$(2)$$x_{1}=0$，$x_{2}=1$；$(3)$$x_{1}=\frac{1}{5}$，$x_{2}=5$；$(4)$$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。

7. 一元二次方程 $x(x + 2)= 0$ 的解是 【C】
A.$x = 2$
B.$x = 0$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= -2$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= 2$

答案： C

8. 一元二次方程 $(x - 5)(x - 6)= x - 5$ 的解是 【D】
A.$x = 5$
B.$x_{1}= 5,x_{2}= 6$
C.$x = 7$
D.$x = 5$ 或 $x = 7$

答案： D

9. 用因式分解法解下列方程:
(1) $\sqrt{5}y^{2}+\sqrt{3}y = 0$；
(2) $9(x - 2)^{2}= 4(x + 1)^{2}$。

答案： $(1)$ 求解方程$\sqrt{5}y^{2}+\sqrt{3}y = 0$
解：
对$\sqrt{5}y^{2}+\sqrt{3}y = 0$提取公因式$y$，得到$y(\sqrt{5}y+\sqrt{3}) = 0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得：
当$y = 0$时，方程成立；
当$\sqrt{5}y+\sqrt{3}=0$时，移项可得$\sqrt{5}y=-\sqrt{3}$，两边同时除以$\sqrt{5}$，$y =-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$。
所以$y_{1}=0$，$y_{2}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$。
$(2)$ 求解方程$9(x - 2)^{2}= 4(x + 1)^{2}$
解：
将方程$9(x - 2)^{2}= 4(x + 1)^{2}$移项得$9(x - 2)^{2}-4(x + 1)^{2}=0$。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a = 3(x - 2)$，$b = 2(x + 1)$，则原方程可化为：
$\begin{aligned}[3(x - 2)+2(x + 1)][3(x - 2)-2(x + 1)]&=0\\(3x-6 + 2x+2)(3x-6-2x - 2)&=0\\(5x-4)(x - 8)&=0\end{aligned}$
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得：
当$5x-4 = 0$时，移项得$5x = 4$，解得$x=\frac{4}{5}$；
当$x - 8 = 0$时，解得$x = 8$。
所以$x_{1}=\frac{4}{5}$，$x_{2}=8$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y_{1}=0}$，$\boldsymbol{y_{2}=-\frac{\sqrt{15}}{5}}$；$(2)$$\boldsymbol{x_{1}=\frac{4}{5}}$，$\boldsymbol{x_{2}=8}$。