《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

1. (安徽)一元二次方程 $ x(x - 2)= 2 - x $ 的根是【D】
A.$ -1 $
B.$ 2 $
C.$ 1 $ 和 $ 2 $
D.$ -1 $ 和 $ 2 $

答案： D

2. (江西)已知 $ x = 1 $ 是方程 $ x^{2}+bx - 2 = 0 $ 的一个根,则方程的另一个根是【C】
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ -2 $
D.$ -1 $

答案： C

3. (武汉)若 $ x_{1}、x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}+4x + 3 = 0 $ 的两个根,则 $ x_{1}\cdot x_{2} $ 的值是【B】
A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ -4 $
D.$ -3 $

答案： B

4. (兰州)关于 $ x $ 的方程 $ a(x + m)^{2}+b = 0 $ 的解是 $ x_{1}= -2,x_{2}= 1 $ ($ a、m、b $ 均为常数, $ a\neq0 $),则方程 $ a(x + m + 2)^{2}+b = 0 $ 的解是$x_{1}=-4,x_{2}=-1$.

答案： $x_{1}=-4,x_{2}=-1$

5. (苏州)已知 $ a、b $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2x - 1 = 0 $ 的两个实数根,则代数式 $ (a - b)(a + b - 2)+ab $ 的值等于-1.

答案： -1

6. (湛江)若 $ x = 2 $ 是关于 $ x $ 的方程 $ 2x + 3m - 1 = 0 $ 的解,则 $ m $ 的值为-1.

答案： -1

7. (南充)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + k + 1 = 0 $ 的实数解是 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $.
(1)求 $ k $ 的取值范围;
(2)如果 $ x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}\lt -1 $,且 $ k $ 为整数,求 $ k $ 的值.

答案：
(1)
∵方程$x^{2}+2x+k+1=0$有实数根,
∴$\triangle=2^{2}-4(k+1)\geq0$,解得$k\leq0$.
∴k的取值范围是$k\leq0$;
(2)根据一元二次方程的根与系数的关系,得$x_{1}+x_{2}=-2,x_{1}x_{2}=k+1$,
∴$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=-2-k-1$.由已知,得$-2-k-1＜-1$,解得$k＞-2$.由
(1)知$k\leq0$,
∴$-2＜k\leq0$.
∵k为整数,
∴k的值为-1和0.

8. (十堰)请阅读下列材料:
问题:已知方程 $ x^{2}+x - 1 = 0 $,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的 $ 2 $ 倍.
解:设所求方程的根为 $ y $,则 $ y = 2x $,所以 $ x = \frac{y}{2} $.
把 $ x = \frac{y}{2} $ 代人已知方程,得 $ (\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1 = 0 $.
化简,得 $ y^{2}+2y - 4 = 0 $.
故所求方程为 $ y^{2}+2y - 4 = 0 $.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式).
(1)已知方程 $ x^{2}+x - 2 = 0 $,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为$y^{2}-y-2=0$;
(2)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案：
(1)$y^{2}-y-2=0$;
(2)设所求方程的根为y,则$y=\frac{1}{x}(x\neq0)$,于是$x=\frac{1}{y}(y\neq0)$.把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^{2}+bx+c=0$,得$a(\frac{1}{y})^{2}+b\cdot\frac{1}{y}+c=0$,去分母,得$a+by+cy^{2}=0$.若$c=0$,有$ax^{2}+bx=0$,于是方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为0,不符合题意.
∴$c\neq0$,故所求方程$cy^{2}+by+a=0(c\neq0)$.