《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + 8 - m = 0$ 有实数根,则 $m$ 的最小值为-1。

答案： -1.

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^{2}-2(3m - 1)x + 9m - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,那么 $m$ 的取值范围是m＜1/5且m≠0.。

答案： m＜1/5且m≠0.

14. 若 $a$、$b$、$c$ 为 $\triangle ABC$ 的三边,关于 $x$ 的方程 $(b - c)x^{2}-2(a - b)x - a + b = 0$ 有两个相等的实数根,试判断 $\triangle ABC$ 的形状。

答案：
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=[-2(a-b)]²-4×(b-c)(-a+b)=0,且b-c≠0,解得a=c或a=b,且b≠c.
∴△ABC是等腰三角形.

15. 当 $k$ 取何值时,关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-(4k + 1)x + 2k^{2}-1 = 0$ 满足下列要求：
(1) 有两个不相等的实数根；
(2) 有两个相等的实数根；
(3) 没有实数根。

答案： Δ=[-(4k+1)]²-4×2×(2k²-1)=16k²+8k+1-16k²+8=8k+9.
(1)当8k+9＞0,即k＞-9/8时,原方程有两个不相等的实数根;
(2)当8k+9=0,即k=-9/8时,原方程有两个相等的实数根;
(3)当8k+9＜0,即k＜-9/8时,原方程没有实数根.

16. 已知关于 $x$ 的方程为 $2x^{2}+kx - 1 = 0$。
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的一个根是 $-1$,求它的另一个根及 $k$ 的值。

答案：
(1)证明:b²-4ac=k²-4×2×(-1)=k²+8,
∵k²≥0,
∴k²+8＞0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)把x=-1代入方程,得2×(-1)²-k-1=0,解得k=1.把k=1代入原方程,得2x²+x-1=0,解得x₁=-1,x₁=1/2,所以方程的另一根为1/2.