《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

13. 计算：
(1) $(\sqrt{5})^2 - \sqrt{16}$；
(2) $-(\sqrt{x + 3})^2$.

答案： （1）1；（2）-x-3.

14. 已知：$-1\lt a\lt0$,化简：$\sqrt{a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}} - \sqrt{a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}}$.

答案： 原式=√((a-1/a)²)-√((a+1/a)²).
∵-1＜a＜0，
∴1/a＜0，且|1/a|＞|a|.
∴√((a-1/a)²)-√((a+1/a)²)=a-1/a-(-a-1/a)=a-1/a+a+1/a=2a.

15. 如图,认真分析各式,然后解答问题：
$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2$,$S_1 = \frac{\sqrt{1}}{2}$；
$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3$,$S_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$；
$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$,$S_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$；
……

(1)试用含有$n$($n$是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出$OA_{10}$的长；
(3)求出$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + … + S_{10}^2$的值.

答案： 利用勾股定理，通过类比寻找规律.（1）由图形知OA₁²+A₁A₂²=OA₂²，
∴S₁=1/2 OA₁·A₁A₂=√1/2. 以此类推，可知(√n)²+1=n+1，Sₙ=1/2 √n×1=√n/2. （2）因为OA₁=1，OA₂=√2，OA₃=√3，……所以OA₁₀=√10. （3）S₁²+S₂²+……+S₁₀²=(√1/2)²+(√2/2)²+……+(√10/2)²=1/4+2/4+……+10/4=1/4(1+2+……+10)=55/4.