《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

10. 把下列各式化为最简二次根式：
(1) $\sqrt{1\frac{15}{49}}$；
(2) $\sqrt{\frac{3}{100}}$；
(3) $\sqrt{\frac{a^{3}}{b}}(b＞0)$；
(4) $\sqrt{\frac{a^{2}b}{4c^{2}}}$；
(5) $\sqrt{\frac{5a^{3}b}{a^{2}-2ab + b^{2}}}(a＞b＞0)$.
(1)原式$=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}=\frac{8}{7}$；
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{3}}{10}$；
(3)原式$=\frac{a\sqrt{ab}}{b}$；
(4)原式$=\frac{\sqrt{a^2b}}{\sqrt{4c^2}}=\frac{a\sqrt{b}}{2c}$；
(5)原式$=\frac{\sqrt{a^2\cdot5ab}}{\sqrt{(a-b)^2}}=\frac{a\sqrt{5ab}}{a-b}$.

答案：
(1)原式$=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}=\frac{8}{7}$；
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{3}}{10}$；
(3)原式$=\frac{a\sqrt{ab}}{b}$；
(4)原式$=\frac{\sqrt{a^2b}}{\sqrt{4c^2}}=\frac{a\sqrt{b}}{2c}$；
(5)原式$=\frac{\sqrt{a^2\cdot5ab}}{\sqrt{(a-b)^2}}=\frac{a\sqrt{5ab}}{a-b}$.

11. 定义：我们将 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 和 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 称为一对“对偶式”. 因为 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})= (\sqrt{a})^{2}-(\sqrt{b})^{2}= a - b$,所以构造“对偶式”,再将其相乘可以有效地将 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 和 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 中的“$\sqrt{}$”去掉,于是我们学习过的二次根式除法可以像这样计算：$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}= \frac{(2+\sqrt{2})^{2}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}= 3 + 2\sqrt{2}$. 像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.
根据以上材料,理解定义并运用材料提供的方法,解答下列问题：
(1) 请直接写出 $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ 的对偶式：$\sqrt{7}-\sqrt{2}$；
(2) 已知 $m= \frac{1}{2-\sqrt{3}}$,$n= \frac{1}{2+\sqrt{3}}$,求 $\frac{m - n}{m^{2}n + mn^{2}}$ 的值.
$\because m=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，$n=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$，$\therefore m+n=4$，$m-n=2\sqrt{3}$，$mn=1$.$\therefore \frac{m-n}{m^2n+mn^2}=\frac{m-n}{mn(m+n)}=\frac{2\sqrt{3}}{1×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案：
(1) $\sqrt{7}-\sqrt{2}$；
(2) $\because m=\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，$n=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$，$\therefore m+n=4$，$m-n=2\sqrt{3}$，$mn=1$.$\therefore \frac{m-n}{m^2n+mn^2}=\frac{m-n}{mn(m+n)}=\frac{2\sqrt{3}}{1×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.