《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

7. 方程 $(x - 2)^{2}= 9$ 的解是 【A】
A.$x_{1}= 5,x_{2}= -1$
B.$x_{1}= -5,x_{2}= 1$
C.$x_{1}= 11,x_{2}= -7$
D.$x_{1}= -11,x_{2}= 7$

答案： A

8. 对于形如 $(x + m)^{2}= n$ 的方程的解,下列表述正确的为 【D】
A.都可以用直接开平方法求解,$x= \pm\sqrt{n}-m$
B.当 $n\geqslant0$ 时,$x= m\pm\sqrt{n}$
C.当 $n\geqslant0$ 时,$x= \pm m+\sqrt{n}$
D.当 $n\geqslant0$ 时,$x= \pm\sqrt{n}-m$,当 $n\lt0$ 时,此方程无实数解

答案： D

9. 若关于 $x$ 的方程 $(x + 3)^{2}= m - 1$ 有实数根,则 $m$ 的取值范围是 【D】
A.$m\geqslant0$
B.$m\geqslant-1$
C.$m\gt1$
D.$m\geqslant1$

答案： D

10. 在实数范围内定义一种运算“$*$”,其规则为 $a*b = a^{2}-b^{2}$.根据这个规则,方程 $(x + 2)*5 = 0$ 的解为$x_{1}=3$, $x_{2}=-7$。

答案： $x_{1}=3$, $x_{2}=-7$

11. 若 $(a^{2}+b^{2}-3)^{2}= 25$,则 $a^{2}+b^{2}= $8。

答案： 8

12. 解方程:$x^{2}-6x + 9= (5 - 2x)^{2}$。

答案： $x_{1}=2$, $x_{2}=\frac{8}{3}$

13. 用直接开平方法解下列方程:
(1) $2(x - 1)^{2}= 8$；
(2) $3(x + 2)^{2}= \frac{1}{3}$；
(3) $(4x - 1)^{2}-27 = 0$；
(4) $3(2x - 1)^{2}= 27$；
(5) $(2x - 3)^{2}= (x + 2)^{2}$；
(6) $\frac{1}{2}(5 - 2x)^{2}= 50(x + 1)^{2}$。

答案： $(1)$ 解方程$2(x - 1)^{2}= 8$
解：
方程两边同时除以$2$得：$(x - 1)^{2}= 4$，
根据直接开平方法$a^2=b(b\geq0)$，则$a = \pm\sqrt{b}$，这里$a=x - 1$，$b = 4$，
所以$x - 1=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
当$x - 1 = 2$时，$x=2 + 1=3$；
当$x - 1=-2$时，$x=-2 + 1=-1$。
所以$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
$(2)$ 解方程$3(x + 2)^{2}= \frac{1}{3}$
解：
方程两边同时除以$3$得：$(x + 2)^{2}=\frac{1}{9}$，
根据直接开平方法$a^2=b(b\geq0)$，则$a = \pm\sqrt{b}$，这里$a=x + 2$，$b=\frac{1}{9}$，
所以$x + 2=\pm\sqrt{\frac{1}{9}}=\pm\frac{1}{3}$，
当$x + 2=\frac{1}{3}$时，$x=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}$；
当$x + 2=-\frac{1}{3}$时，$x=-\frac{1}{3}-2=-\frac{7}{3}$。
所以$x_{1}=-\frac{5}{3}$，$x_{2}=-\frac{7}{3}$。
$(3)$ 解方程$(4x - 1)^{2}-27 = 0$
解：
移项得$(4x - 1)^{2}=27$，
根据直接开平方法$a^2=b(b\geq0)$，则$a = \pm\sqrt{b}$，这里$a = 4x - 1$，$b = 27$，
所以$4x - 1=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$，
当$4x - 1 = 3\sqrt{3}$时，$4x=3\sqrt{3}+1$，$x=\frac{3\sqrt{3}+1}{4}$；
当$4x - 1=-3\sqrt{3}$时，$4x=-3\sqrt{3}+1$，$x=\frac{1 - 3\sqrt{3}}{4}$。
所以$x_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{4}$，$x_{2}=\frac{1 - 3\sqrt{3}}{4}$。
$(4)$ 解方程$3(2x - 1)^{2}= 27$
解：
方程两边同时除以$3$得：$(2x - 1)^{2}=9$，
根据直接开平方法$a^2=b(b\geq0)$，则$a = \pm\sqrt{b}$，这里$a = 2x - 1$，$b = 9$，
所以$2x - 1=\pm\sqrt{9}=\pm3$，
当$2x - 1 = 3$时，$2x=3 + 1=4$，$x = 2$；
当$2x - 1=-3$时，$2x=-3 + 1=-2$，$x=-1$。
所以$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
$(5)$ 解方程$(2x - 3)^{2}= (x + 2)^{2}$
解：
根据直接开平方法$a^2=b^2$，则$a=\pm b$，这里$a = 2x - 3$，$b = x + 2$，
所以$2x - 3=\pm(x + 2)$，
当$2x - 3=x + 2$时，$2x-x=2 + 3$，$x = 5$；
当$2x - 3=-(x + 2)$时，$2x - 3=-x - 2$，$2x+x=-2 + 3$，$3x = 1$，$x=\frac{1}{3}$。
所以$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac{1}{3}$。
$(6)$ 解方程$\frac{1}{2}(5 - 2x)^{2}= 50(x + 1)^{2}$
解：
方程两边同时乘以$2$得：$(5 - 2x)^{2}=100(x + 1)^{2}$，
根据直接开平方法$a^2=b^2$，则$a=\pm b$，这里$a = 5 - 2x$，$b = 10(x + 1)$，
所以$5 - 2x=\pm10(x + 1)$，
当$5 - 2x=10(x + 1)$时，$5 - 2x=10x + 10$，$-2x-10x=10 - 5$，$-12x = 5$，$x=-\frac{5}{12}$；
当$5 - 2x=-10(x + 1)$时，$5 - 2x=-10x - 10$，$-2x + 10x=-10 - 5$，$8x=-15$，$x=-\frac{15}{8}$。
所以$x_{1}=-\frac{5}{12}$，$x_{2}=-\frac{15}{8}$。