《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

8. 计算：
(1) $9\sqrt{45}÷3\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{3}{2}\sqrt{5}$；
(2) $\sqrt{\frac{3}{5}}÷\sqrt{15}×\sqrt{\frac{1}{15}}$；
(3) $\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{2}{5}}$；
(4) $\sqrt{0.5^{2}}÷\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{15}$.

答案： 1. （1）
解：
先化简$9\sqrt{45}=9×3\sqrt{5}=27\sqrt{5}$，$3\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
则$9\sqrt{45}÷3\sqrt{\frac{1}{5}}×\frac{3}{2}\sqrt{5}=27\sqrt{5}÷\frac{3\sqrt{5}}{5}×\frac{3}{2}\sqrt{5}$。
根据除法运算法则$a÷ b = a×\frac{1}{b}$，$27\sqrt{5}÷\frac{3\sqrt{5}}{5}=27\sqrt{5}×\frac{5}{3\sqrt{5}} = 45$。
所以$45×\frac{3}{2}\sqrt{5}=\frac{135}{2}\sqrt{5}$。
2. （2）
解：
$\sqrt{\frac{3}{5}}÷\sqrt{15}×\sqrt{\frac{1}{15}}=\sqrt{\frac{3}{5}÷15×\frac{1}{15}}$。
根据除法运算法则$a÷ b=a×\frac{1}{b}$，$\frac{3}{5}÷15=\frac{3}{5}×\frac{1}{15}=\frac{1}{25}$。
则$\sqrt{\frac{1}{25}×\frac{1}{15}}=\sqrt{\frac{1}{375}}=\frac{1}{5\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{75}$。
3. （3）
解：
先将带分数化为假分数，$\sqrt{1\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$，$\sqrt{2\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$，$\sqrt{1\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{7}{5}}$。
则$\sqrt{\frac{5}{3}}÷\sqrt{\frac{7}{3}}×\sqrt{\frac{7}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}$。
$\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}=\frac{5}{3}×\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$。
所以$\sqrt{\frac{5}{7}×\frac{7}{5}} = 1$。
4. （4）
解：
$\sqrt{0.5^{2}} = 0.5=\frac{1}{2}$。
则$\sqrt{0.5^{2}}÷\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{15}=\frac{1}{2}÷\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{3}×15}$。
$\sqrt{\frac{1}{3}×15}=\sqrt{5}$。
$\frac{1}{2}÷\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{135}{2}\sqrt{5}$；（2）$\frac{\sqrt{15}}{75}$；（3）$1$；（4）$\frac{1}{2}$。

9. 观察下列各式的转化过程：
$\begin{aligned}\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&= \sqrt{\frac{1}{2×3}}= \sqrt{\frac{2}{2^{2}×3}}= \sqrt{\frac{1}{2^{2}}×\frac{2}{3}}= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}；\\\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}&= \sqrt{\frac{1}{2×3×4}}= \sqrt{\frac{3}{2×3^{2}×4}}= \sqrt{\frac{1}{3^{2}}×\frac{3}{8}}= \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}；\\\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}&= \sqrt{\frac{1}{3×4×5}}= \sqrt{\frac{4}{3×4^{2}×5}}= \sqrt{\frac{1}{4^{2}}×\frac{4}{15}}= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}.\end{aligned} $
(1) 根据上述各式的转化过程,先猜想 $\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}$ 的变形结果,再进行验证；
(2) 针对上述各式反映的规律,请写出用 $n$($n$ 为任意正整数)表示的等式.

答案：
(1)$\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证略；
(2)$\sqrt{\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{(n+1)^2-1}}$.