《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

1. 等式 $\sqrt{\frac{x + 1}{x - 2}}= \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 2}}$ 成立的条件是【D】
A.$x\geqslant - 1$
B.$x＜2$
C.$x＞2$
D.$x\geqslant - 1$ 且 $x\neq2$

答案： D.

2. 计算 $3÷\sqrt{6}$ 的结果为【B】
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{2}$

答案： B.

3. 在下列二次根式中,是最简二次根式的为【D】
A.$\sqrt{16}$
B.$\sqrt{y^{2}}$
C.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
D.$\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

答案： D.

4. 把下列各式化成最简二次根式：
(1) $\sqrt{125}=$$5\sqrt{5}$；
(2) $\sqrt{0.25}=$$\frac{1}{2}$；
(3) $\sqrt{12a^{2}}(a＞0)=$$2\sqrt{3}a$；
(4) $\sqrt{80x^{3}y}(y＞0)=$$4x\sqrt{5xy}$.

答案：
(1) $5\sqrt{5}$；
(2) $\frac{1}{2}$；
(3) $2\sqrt{3a}$；
(4) $4x\sqrt{5xy}$.

5. 直接写出下列各式的结果,使结果的分母中不含有根号：
(1) $\frac{a}{\sqrt{a}}=$$\sqrt{a}$；
(2) $\frac{3\sqrt{6}}{6\sqrt{3}}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) $\frac{a^{2}-3}{a+\sqrt{3}}=$$a-\sqrt{3}$.

答案：
(1) $\sqrt{a}$；
(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$；
(3) $a-\sqrt{3}$.

6. 已知 $a = 2$,$b = 3$,$c = 5$,则 $\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{bc}}= $$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

答案： $\frac{\sqrt{10}}{5}$.

7. 计算：
(1) $-\sqrt{1\frac{3}{7}}÷\sqrt{3\frac{3}{14}}$；
(2) $9\sqrt{\frac{1}{48}}÷(-\frac{3}{2}\sqrt{2\frac{1}{4}})$；
(3) 已知 $a= \sqrt{3}$,$b = 3$,$c= \sqrt{12}$,求代数式 $\frac{b^{2}-4ac}{2a}$ 的值；
(4) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}+…+\frac{1}{10+\sqrt{99}}$.

答案： 1. （1）
解：
先将带分数化为假分数：$1\frac{3}{7}=\frac{10}{7}$，$3\frac{3}{14}=\frac{45}{14}$。
则$-\sqrt{1\frac{3}{7}}÷\sqrt{3\frac{3}{14}}=-\sqrt{\frac{10}{7}}÷\sqrt{\frac{45}{14}}$。
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b ＞ 0)$，可得$-\sqrt{\frac{10}{7}÷\frac{45}{14}}=-\sqrt{\frac{10}{7}×\frac{14}{45}}$。
计算$\frac{10}{7}×\frac{14}{45}=\frac{4}{9}$，所以$-\sqrt{\frac{4}{9}}=-\frac{2}{3}$。
2. （2）
解：
先化简二次根式：$\sqrt{\frac{1}{48}}=\frac{1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$。
则$9\sqrt{\frac{1}{48}}÷(-\frac{3}{2}\sqrt{2\frac{1}{4}})=9×\frac{\sqrt{3}}{12}÷(-\frac{3}{2}×\frac{3}{2})$。
即$\frac{3\sqrt{3}}{4}÷(-\frac{9}{4})$。
根据除法运算法则$a÷ b = a×\frac{1}{b}(b\neq0)$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}×(-\frac{4}{9})=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. （3）
解：
已知$a = \sqrt{3}$，$b = 3$，$c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
代入$\frac{b^{2}-4ac}{2a}$得：$\frac{3^{2}-4×\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$。
先计算分子：$3^{2}-4×\sqrt{3}×2\sqrt{3}=9 - 24=-15$。
则$\frac{-15}{2\sqrt{3}}=-\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
4. （4）
解：
对每一项进行分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2 - \sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$；$\cdots$；$\frac{1}{10+\sqrt{99}}=\frac{10-\sqrt{99}}{(10+\sqrt{99})(10 - \sqrt{99})}=10-\sqrt{99}$。
所以原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2 - \sqrt{3})+\cdots+(10-\sqrt{99})$。
去括号后，相邻两项正负抵消，最后结果为$10 - 1=9$。
综上，答案依次为：（1）$-\frac{2}{3}$；（2）$-\frac{\sqrt{3}}{3}$；（3）$-\frac{5\sqrt{3}}{2}$；（4）$9$。