《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

5. (武汉)(1)如图①,在$\triangle ABC$中,点$D$、$E$、$Q分别在AB$、$AC$、$BC$上,且$DE // BC$,$AQ交DE于点P$. 求证：$\frac{DP}{BQ} = \frac{PE}{QC}$.
(2)在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,正方形$DEFG的四个顶点在\triangle ABC$的边上,连结$AG$、$AF$,分别交$DE于M$、$N$两点.
(i) 如图②,若$AB = AC = 1$,直接写出$MN$的长；
(ii) 如图③,求证：$MN^{2} = DM \cdot EN$.

答案：
(1)在△ABQ中，
∵DP//BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{AP}{AQ}$. 同理，在△ACQ中，$\frac{EP}{CQ}=\frac{AP}{AQ}$.
∴$\frac{DP}{BQ}=\frac{PE}{QC}$;
(2)(i)$\frac{\sqrt{2}}{9}$; (ii)证明：
∵∠B+∠C=90°，∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF. 又
∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴$\frac{DG}{CF}=\frac{BG}{EF}$，
∴DG·EF=CF·BG. 又
∵DG=GF=EF，
∴GF²=CF·BG. 由
(1)得$\frac{DM}{BG}=\frac{MN}{GF}=\frac{EN}{CF}$，
∴$(\frac{MN}{GF})^2=\frac{DM}{BG}·\frac{EN}{CF}$，
∴MN²=DM·EN.