《2025年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版》

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $、$ E $ 分别是线段 $ AB $、$ AC $ 的中点,则线段 $ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,线段 $ DE $ 是 $ \triangle ABC $ 的中位线；若 $ DE = 2 $,则 $ BC = $4。

答案： 中线,中位线,4

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $、$ E $、$ F $ 四等分 $ AB $,$ DG // BC // EH // FK $。若 $ BC = 20cm $,则 $ EH = $10 $ cm $,$ DG = $5 $ cm $,$ FK = $15 $ cm $。

答案： 10,5,15

6. 如图,$ D $、$ E $、$ F $ 分别是 $ \triangle ABC $ 各边的中点。
(1) 若 $ EF = 4cm $,则 $ BC = $8 $ cm $,若 $ AB = 10cm $,则 $ DF = $5 $ cm $；
(2) 中线 $ AD $ 与中位线 $ EF $ 有什么特殊的关系？试证明你的猜想；
AD、EF互相平分,连结DE,可证得四边形AEDF是平行四边形
(3) 连结 $ DE $,若要使四边形 $ AEDF $ 是菱形,题设中必须增加条件AB=AC,或∠B=∠C,或AD⊥BC,或AD平分∠BAC等。

答案：
(1)8,5;
(2)AD、EF互相平分,连结DE,可证得四边形AEDF是平行四边形;
(3)AB=AC,∠B=∠C,AD⊥BC,AD平分∠BAC

7. 如图,$ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的高,$ \angle B = 2\angle C $,$ M $ 为 $ BC $ 的中点,求证：$ DM = \frac{1}{2}AB $。

答案：
取AC的中点N,连结MN、DN,又
∵M为BC的中点，
∴MN//AB,MN=$\frac{1}{2}$AB.
∴∠B=∠1.
∵AD为△ABC的高,N为AC的中点，
∴在Rt△ADC中,DN=$\frac{1}{2}$AC=NC.
∴∠2=∠C.
∵∠B=2∠C,
∴∠1=2∠C;
∴∠1=2∠2.又
∵∠2+∠3=∠1,
∴∠2=∠3.
∴DM=MN.
∴DM=$\frac{1}{2}$AB.