《2025年课堂点睛七年级数学上册人教版宁夏专版》

1. 是否存在数 $ m $,使关于 $ x,y $ 的多项式 $ (mx^{2}-x^{2}+3x+1)-(5x^{2}-4y^{2}+3x) $ 化简后结果中不含 $ x^{2} $ 项？若不存在,请说明理由；若存在,求出 $ m $ 的值.

答案： 解:原式=mx²-x²+3x+1-5x²+4y²-3x=(m-6)x²+4y²+1.由题意,得m-6=0,所以存在m=6,满足要求.

2. 小华从课外书上抄写了这样一道练习题：“已知 $ x = 10 $,求 $ 6x^{2}+4x-2(x^{2}-1)-2(2x+x^{2}) $ 的值.”粗心的小华把“$ x = 10 $”抄成了“$ x = -10 $”,但计算的结果却是正确的. 你知道其中原因吗？

答案： 解:原式=6x²+4x-2x²+2-4x-2x²=2x²+2.当x=10或x=-10时,x²=100,故原式=2×100+2=202.所以粗心的小华虽然把“x=10”抄写了“x=-10”,但计算的结果却是正确的.

3. 如图是 2024 年 7 月的月历.
(1) 不改变十字框的大小,如果将带阴影的十字框移至任意位置,带阴影的十字框中的 5 个数之和与十字框中心的数有什么关系？你知道为什么吗？
(2) 这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？

答案：
(1)解:带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍,理由如下:设十字框中心的数为x,则其余4个数分别为x-7,x-1,x+1,x+7,带阴影的十字框中的5个数之和为(x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=5x,所以带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立.

4. 放学后小刚一回到家就认真地做起了数学课上老师布置的一道数学题：已知两个多项式 $ A $ 和 $ B $,其中 $ A = 3a + 2b $,$ B = *a - b $,求 $ 2A + B $. 由于粗心,小刚把多项式 $ B $ 中 $ a $ 的系数漏掉了,已知本题的正确答案是 $ 8a + 3b $,试求这道题里多项式 $ B $ 中 $ a $ 的系数,并求出 $ 5A - 3B $ 的值.

答案： 解:由题意得,B=8a+3b-2(3a+2b)=8a+3b-6a-4b=2a-b,
∴多项式B中a的系数是2,
∴5A-3B=5(3a+2b)-3(2a-b)=15a+10b-6a+3b=9a+13b.

5. 已知一个两位数,它的十位上的数字是 $ a $,个位上的数字是 $ b $.
(1) 写出这个两位数.
(2) 若 $ a eq b $,把这个两位数十位上的数字与个位上的数字对调,得到一个新的两位数,则原两位数与新两位数的和能被 11 整除吗？为什么？其差又一定是哪个数的倍数？为什么？

答案：
(1)解:10a+b.
(2)由题意得,这两个数的和为(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b),因为a,b都是整数,所以a+b也是整数.所以这两个数的和能被11整除.两个数的差为:(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b).因为a,b都是整数,所以a-b也是整数.所以这两个数的差一定是9的倍数.