《2025年课堂点睛七年级数学上册人教版宁夏专版》

10. 若 $a$,$b$ 互为相反数,$c$,$d$ 互为倒数,则 $(a + b)^4 - (-cd)^3$ 的结果为(B)
A.$-1$
B.$1$
C.$-1$ 或 $2$
D.$2$

答案： B

11. (新定义)用“※”定义新运算：对于任意有理数 $a$ 和 $b$,都有 $a※b = b^2 - ab$.例如,$1※3 = 3^2 - 1×3 = 6$.根据新定义计算 $(-2)※(-3)$ 的结果为(A)
A.$3$
B.$-3$
C.$6$
D.$-6$

答案： A

12. (程序题)按图所示的程序进行计算,若第一次输入的数是 $20$,而结果不大于 $100$ 时,应把结果作为输入的数再进行第二次运算,直到结果大于 $100$ 为止,则最后输出的结果为320.

答案： 320

13. 计算：
(1)$-1^4 - (1 - 0.5)×\frac{1}{3}×[2 - (-3)^2]$；
(2)$-4^3÷(-32) - [(-\frac{2}{3})^3×(-3^2) + (-\frac{11}{3})]$.

答案：
(1)解:原式=-1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×(-7)=-1+$\frac{7}{6}$=$\frac{1}{6}$.
(2)解:原式=-64÷(-32)-[-$\frac{8}{27}$×(-9)-$\frac{11}{3}$]=2-($\frac{8}{3}$-$\frac{11}{3}$)=2-(-1)=3.

14. (教材第 $53$ 页例 $4$ 变式)观察下面三行数.
①$-3$,$9$,$-27$,$81$,$-243$,…$$；
②$0$,$12$,$-24$,$84$,$-240$,…$$；
③$-1$,$3$,$-9$,$27$,$-81$,…$$.
(1)第①行数是按什么规律排列的？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第 $6$ 个数,求这三个数的和.

答案：
(1)解:第①行数是按-3,(-3)²,(-3)³,(-3)⁴,(-3)⁵,…排列的.
(2)第②行数是第①行相应的数加3,第③行数是第①行相应的数的$\frac{1}{3}$.
(3)(-3)⁶+[(-3)⁶+3]+(-3)⁶×$\frac{1}{3}$=729+732+243=1704.

15. (核心素养·创新意识)为了计算 $1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^9 + 2^{10}$ 的值,我们采用如下的方法：
设 $S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^9 + 2^{10}$,①
则 $2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + … + 2^{10} + 2^{11}$.②
由②$-$①,得 $S = 2^{11} - 1$.
请你根据上述材料,解答下列问题：
(1)求 $1 + 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{2024}$ 的值；
(2)已知一组按规律排列的数：$-1$,$5$,$-5^2$,$5^3$,$-5^4$,…$$.
①它的第 $200$ 个数是$5^{199}$；
②这列数中前 $200$ 个数的和为$\frac{5^{200}-1}{6}$.
(1)解:设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²⁴,①,则3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²⁴+3²⁰²⁵.②,由②-①,得2S=3²⁰²⁵-1,所以S=$\frac{3^{2025}-1}{2}$,即1+3+3²+3³+…+3²⁰²⁴=$\frac{3^{2025}-1}{2}$.

答案：
(1)解:设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²⁴,①,则3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰²⁴+3²⁰²⁵.②,由②-①,得2S=3²⁰²⁵-1,所以S=$\frac{3^{2025}-1}{2}$,即1+3+3²+3³+…+3²⁰²⁴=$\frac{3^{2025}-1}{2}$.
(2)①5¹⁹⁹ ②$\frac{5^{200}-1}{6}$