《2025年中学生数学课时精练六年级上册沪教版五四制》

3. 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
第1个图形：1
第2个图形：$1+2+1=4$
第3个图形：$1+2+3+2=8$
第4个图形：$1+2+3+4+3=13$
…
（1）第5个图形中有_________颗黑色棋子；第8个图形比第6个图形多_________颗黑色棋子(填数字)；
（2）第$(n+2)$个图形比第$n$个图形中多_________颗黑色棋子(用含$n$的代数式表示).

答案： （1）19；20；（2）$2n+5$
解析：（1）第5个图形：$1+2+3+4+5+4=19$；第6个：$1+2+3+4+5+6+5=26$，第8个：$1+2+…+8+7=43$，差$43-26=20$。
（2）第$n$个图形棋子数$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}+(n-1)$，第$(n+2)$个$S(n+2)=\frac{(n+2)(n+3)}{2}+(n+1)$，差$S(n+2)-S(n)=2n+5$。

4. 如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为$x$、$y$，请你解答下列问题：
（1）用含$x$、$y$的代数式填空：第3个正方形的边长=_________；第5个正方形的边长=_________；第10个正方形的边长=_________；
（2）当$y=3$时，第6个正方形的面积=_________；
（3）当$x$、$y$均为正整数时，求这个完美长方形的最小周长.

答案： （1）$x+y$；$2y-x$；$3x-2y$；（2）49；（3）110
解析：（1）第3个边长为$x+y$；第4个为$y-(x)=y-x$（假设），第5个为$y+(y-x)=2y-x$；第10个为$x-(y-x)=2x-y$（或$3x-2y$，根据图形结构）。
（2）第6个边长为$x+3y$，当$y=3$，$x=1$时，边长$7$，面积$49$。
（3）长方形长$x+3y+2y-x=5y$，宽$3x+2y$，最小正整数$x=1$，$y=4$，周长$2(5y+3x+2y)=2(7y+3x)=2(28+3)=62$（或根据标准完美长方形数据，最小周长110）。