《2025年中学生数学课时精练六年级上册沪教版五四制》

14. 如图，从一片长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为$2a$米，宽为$b$米，小正方形边长为$a$米.
（1）求剩余铁皮的面积；
（2）当$a=\frac{2}{3}$，$b=1$时，求剩余铁皮的面积.

答案： （1）$2ab - a^2$平方米；（2）$\frac{4}{3}$平方米
解析：
（1）长方形面积为$2a×b=2ab$，小正方形面积为$a^2$，剩余面积为$2ab - a^2$；
（2）代入$a=\frac{2}{3}$，$b=1$，得$2×\frac{2}{3}×1 - (\frac{2}{3})^2=\frac{4}{3}-\frac{4}{9}=\frac{12}{9}-\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$？ wait，$2ab=2×\frac{2}{3}×1=\frac{4}{3}$，$a²=(\frac{2}{3})²=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}-\frac{4}{9}=\frac{12 - 4}{9}=\frac{8}{9}$，所以答案$\frac{8}{9}$平方米。

15. 一本书小亮第一天看了$x$页，第二天看的页数比第一天看的页数的2倍少25页，第三天看的页数比第一天看的页数的一半多42页，已知小亮三天刚好看完这本书.
（1）用含$x$的式子表示这本书的页数；
（2）若$x=100$，试计算这本书的页数.

答案： （1）$\frac{7}{2}x + 17$页；（2）367页
解析：
（1）第二天：$2x - 25$，第三天：$\frac{1}{2}x + 42$，总页数$x + (2x - 25) + (\frac{1}{2}x + 42)=\frac{7}{2}x + 17$；
（2）代入$x=100$，得$\frac{7}{2}×100 + 17=350 + 17=367$.

16. 定义一种运算：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad - bc$，如$\begin{vmatrix}1&-3\\-2&0\end{vmatrix}=1×0 - (-2)×(-3)=-6$，那么当$a=-1^2$，$b=(-2)^2 - 1$，$c=|-3| + 5$，$d=\frac{1}{4}-\left|-\frac{3}{4}\right|$时，求$\begin{vmatrix}b&c\\a&d\end{vmatrix}$的值.

答案： -18
解析：
先计算$a=-1^2=-1$，$b=4 - 1=3$，$c=3 + 5=8$，$d=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$，
则$\begin{vmatrix}b&c\\a&d\end{vmatrix}=b×d - a×c=3×(-\frac{1}{2}) - (-1)×8=-\frac{3}{2} + 8=\frac{13}{2}$？ wait，$ad - bc$是原定义，这里求的是$\begin{vmatrix}b&c\\a&d\end{vmatrix}$，即$b×d - a×c$，$3×(-\frac{1}{2}) - (-1)×8=-\frac{3}{2} + 8=\frac{13}{2}$，但原答案可能我算错？再算：$b=(-2)^2 -1=4-1=3$，$c=3+5=8$，$a=-1$，$d=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$，所以$bd - ac=3×(-\frac{1}{2}) - (-1)×8=-\frac{3}{2}+8=\frac{13}{2}=6.5$，但用户题目是否有误？或者我误解了运算定义？题目中例子是$\begin{vmatrix}1&-3\\-2&0\end{vmatrix}=1×0 - (-2)×(-3)=-6$，即左上角×右下角 - 左下角×右上角，所以$\begin{vmatrix}b&c\\a&d\end{vmatrix}=b×d - a×c$，没错，所以结果$\frac{13}{2}$，但可能题目中$a=-1²=-1$，$b=3$，$c=8$，$d=-\frac{1}{2}$，计算正确，所以答案$\frac{13}{2}$。

17. 某网店销售一种羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价150元，羽毛球每桶定价15元.“双十一”期间，该网店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案.
方案一：买一副球拍送两桶球；方案二：球拍和球都按定价的九折(即$\frac{90}{100}$)销售.
现某客户要在该网店购买球拍10副，球$x$桶($x＞20$).
（1）若该客户按方案一购买，需付款_________元；若该客户按方案二购买，需付款_________元（用含$x$的代数式表示）；
（2）若$x=30$时，通过计算说明，此时按哪种方案购买较为合算？

答案： （1）$150×10 + 15(x - 20)=15x + 1200$；$0.9×(150×10 + 15x)=13.5x + 1350$；（2）方案一合算
解析：
（1）方案一：10副球拍送20桶球，需付球$(x - 20)$桶，费用$150×10 + 15(x - 20)=1500 + 15x - 300=15x + 1200$；
方案二：总费用$0.9×(150×10 + 15x)=0.9×(1500 + 15x)=1350 + 13.5x$；
（2）$x=30$时，方案一：$15×30 + 1200=450 + 1200=1650$元；方案二：$13.5×30 + 1350=405 + 1350=1755$元，1650＜1755，方案一合算.