《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

9. [2024温州模拟]如图，点$A$，$B$，$C$都是正方形网格的格点，连接$BA$，$CA$，则$\angle BAC$的正弦值为(B)


A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$2$

答案： 9.B

10. [2024西宁]在平面直角坐标系中，直线$AB$与$x$轴交于点$A(6,0)$，与$y$轴交于点$B(0,6)$，点$P$在$y$轴上，且满足$\angle PAB = 15^{\circ}$，则$OP$的长为2√3或6√3。

答案： 10.2√3或6√3

$11. $如图，$Rt\triangle ABM(\angle AMB = 90^{\circ})$和$Rt\triangle ADN(\angle AND = 90^{\circ})$的斜边分别为正方形$ABCD$的边$AB$和$AD，$其中$AM = AN。$　　
$（1）$求证：$Rt\triangle ABM≌Rt\triangle ADN；$　　
$（2）$线段$MN$与线段$AD$相交于点$T，$若$AT = \dfrac{1}{4}AD，$求$\tan\angle ABM$的值。　　

答案：
(1)证明：$\because AB = AD$，$AM = AN$，
$\therefore Rt\triangle ABM\cong Rt\triangle ADN$。
(2)由$Rt\triangle ABM\cong Rt\triangle ADN$，易得$\angle DAN=\angle BAM$，$DN = BM$。
$\because\angle BAM+\angle DAM = 90^{\circ}$，$\angle DAN+\angle ADN = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle DAM=\angle ADN$，
$\therefore ND// AM$，
$\therefore\triangle DNT\sim\triangle AMT$，
$\therefore\frac{AM}{DN}=\frac{AT}{DT}$。
$\because AT=\frac{1}{4}AD$，
$\therefore\frac{AM}{DN}=\frac{AT}{DT}=\frac{1}{3}$，
$\therefore\tan\angle ABM=\frac{AM}{BM}=\frac{AM}{DN}=\frac{1}{3}$。

12. 【几何直观】如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$AD$，$BC$上，且$ED = BF$，连接$AF$，$CE$，$AC$，$EF$，且$AC$与$EF$相交于点$O$。
（1）求证：四边形$AFCE$是平行四边形；
（2）若$AC$平分$\angle FAE$，$AC = 8$，$\tan\angle DAC = \dfrac{3}{4}$，求四边形$AFCE$的面积。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC$，$AD// BC$。
又因为$ED = BF$，所以$AD - ED = BC - BF$，即$AE = CF$。
又$AE// CF$（因为$AD// BC$）。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
2. （2）解：
因为$AC$平分$\angle FAE$，所以$\angle FAC=\angle EAC$。
又因为四边形$AFCE$是平行四边形，所以$AF// CE$，则$\angle FAC=\angle ECA$。
所以$\angle EAC=\angle ECA$，所以$AE = CE$。
因为四边形$AFCE$是平行四边形，且$AE = CE$，所以平行四边形$AFCE$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
所以$AC\perp EF$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OE = \frac{1}{2}EF$。
已知$AC = 8$，则$OA=\frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt\triangle AOE$中，$\tan\angle DAC=\frac{OE}{OA}$，且$\tan\angle DAC=\frac{3}{4}$。
即$\frac{OE}{4}=\frac{3}{4}$，解得$OE = 3$。
所以$EF=2OE = 6$。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}× AC× EF$（菱形面积等于对角线乘积的一半）。
把$AC = 8$，$EF = 6$代入可得$S=\frac{1}{2}×8×6=24$。
综上，（1）四边形$AFCE$是平行四边形得证；（2）四边形$AFCE$的面积为$24$。