《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

9. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$。
(1)若方程有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围；
(2)若$x_{1},x_{2}$是方程的两根，且$x_{1}+x_{2}=-x_{1}x_{2}$，求$k$的值。

答案： 9.
(1)$k ＞ \frac{3}{4}$
(2)$k$的值为2

10. [2023泸州]若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-10x + m = 0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(C)

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$

答案： 10.C

11. 若实数$a,b$分别满足$a^{2}-4a + 3 = 0,b^{2}-4b + 3 = 0$，且$a\neq b$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为____。

答案： 11.$\frac{4}{3}$

12. [2024遂宁]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$。
(1)求证：无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，求$m$的值。

答案： $(1)$ 证明方程有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-(m + 2)$，$c = m - 1$。
则$\Delta =[-(m + 2)]^{2}-4×1×(m - 1)$
$=m^{2}+4m + 4-4m + 4$
$=m^{2}+8$。
因为$m^{2}\geqslant0$，所以$m^{2}+8＞0$，即$\Delta＞0$。
所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$m$的值
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若方程的两根为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$中，$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$。
已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，可得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
将$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$代入$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$中得：
$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$。
把$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=m - 1$代入$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$得：
$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9$。
展开式子得$m^{2}+4m + 4-3m + 3 = 9$。
移项合并同类项得$m^{2}+m - 2 = 0$。
因式分解得$(m + 2)(m - 1)=0$。
则$m + 2 = 0$或$m - 1 = 0$。
解得$m=-2$或$m = 1$。
综上，$(1)$ 证明如上；$(2)$ $m$的值为$-2$或$1$。

13. 【运算能力】[2024内江]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$。
(1)填空：$x_{1}+x_{2}=$p，$x_{1}x_{2}=$1；
(2)分别求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$和$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$的值；
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，求$p$的值。

答案： 13.
(1)$p \ 1$
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = p,x_1 + \frac{1}{x_1} = p$
(3)$p$的值为3