《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

当$\Delta \geq 0$时，如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0)$的两根是$x_{1},x_{2}，$那么$x_{1}+x_{2}=$　　$-\frac{b}{a}$　　，$x_{1}x_{2}=$　　$\frac{c}{a}$　　。　　

答案： 2.4 一元二次方程根与系数的关系 【知识梳理】 $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

例 若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$的两个根，求下列代数式的值。
(1)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$；(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；(3)$(x_{1}-x_{2})^{2}$；(4)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$；(5)$(x_{1}-2)(x_{2}-2)$；(6)$(x_{1}+\frac{1}{x_{2}})(x_{2}+\frac{1}{x_{1}})$。
【思路分析】将所求的代数式分别化成含$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的式子，然后利用根与系数的关系，将$x_{1}+x_{2}$与$x_{1}x_{2}$的值整体代入计算。

答案： 答题卡：
(1)
根据根与系数的关系，已知$x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = -3$。
(2)
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2 × \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$。
(3)
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4 × \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4} + 2 = \frac{17}{4}$。
(4)
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{13}{2}$。
(5)
$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = -\frac{1}{2} - 2 × \frac{3}{2} + 4 = -\frac{1}{2} - 3 + 4 = \frac{1}{2}$。
(6)
$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1})$
$=x_1x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1x_2}$
$= x_1x_2 + 2 + \frac{1}{x_1x_2}$
$ = -\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} + 2 - 2 = -\frac{1}{2}$。

1. [2023天津]若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-6x - 7 = 0$的两个根，则下列结论正确的是(A)

A.$x_{1}+x_{2}=6$
B.$x_{1}+x_{2}=-6$
C.$x_{1}x_{2}=\frac{7}{6}$
D.$x_{1}x_{2}=7$

答案： 1.A

2. 设一元二次方程$x^{2}-3x + 2 = 0$的两根为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$的值为(A)

A.1
B.-1
C.0
D.3

答案： 2.A

3. [2023泰州]关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x - 1 = 0$的两根之和为-2。

答案： 3.-2

4. [2024巴中]已知一元二次方程$x^{2}-2x + k = 0$的一个根为$-2$，则方程的另一个根为4。

答案： 4.4

5. 已知$\alpha,\beta$分别是方程$x^{2}-4x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$\alpha^{2}+\beta^{2}$的值为(B)

A.16
B.18
C.20
D.22

答案： 5.B

6. 若$a,b$是方程$x^{2}+2x - 2025 = 0$的两个实数根，则$a^{2}+3a + b$的值是(B)

A.2022
B.2023
C.2024
D.2025

答案： 6.B

7. [2024乐山]若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + p = 0$的两根为$x_{1},x_{2}$，且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=3$，则$p$的值为(A)

A.$-\frac{2}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.-6
D.6

答案： 7.A

8. 已知$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+6x + 3 = 0$的两个实数根，试求下列代数式的值。
(1)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$；
(2)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)$。

答案： 8.
(1)10
(2)-2