《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

教材母题（教材 P90 习题 3.4 第 9 题）
如图，$\triangle ABC$为锐角三角形，$AD$是边$BC$上的高，正方形$EFGH$的一边$EF$在$BC$上，顶点$G$，$H$分别在$AC$，$AB$上。已知$BC = 30\mathrm{cm}$，$AD = 20\mathrm{cm}$，求这个正方形的边长。

答案： 这个正方形的边长为12 cm

如图是一块底边$BC$长为$120\mathrm{mm}$的三角形余料，现要把它加工成正方形$DEFG$形状的零件，使得正方形的四个顶点$D$，$E$，$F$，$G$都在三角形的三边上，其中点$E$，$F$在边$BC$上，加工后正方形的边长为$48\mathrm{mm}$，求原三角形的面积。

答案： 原三角形的面积为4800($mm^{2}$)

如图，一台投影机插入胶片后图象可投到屏幕上。已知胶片与屏幕平行，点$A$为光源，与胶片$BC$的距离为$0.1\mathrm{m}$，胶片的高$BC$为$0.038\mathrm{m}$。若需要投影后的图象$DE$的高为$1.9\mathrm{m}$，则投影机光源离屏幕约为(B)


A.$6\mathrm{m}$
B.$5\mathrm{m}$
C.$4\mathrm{m}$
D.$3\mathrm{m}$

答案： B

如图，$\triangle ABC$是一块锐角三角形材料，高线$AH$长$8\mathrm{cm}$，底边$BC$长$10\mathrm{cm}$，要把它加工成一个矩形零件，使矩形$DEFG$的一边$EF$在$BC$上，其余两个顶点$D$，$G$分别在$AB$，$AC$上，$AH$交$DG$于点$M$。
(1)求证：$AM\cdot BC = AH\cdot DG$。
(2)加工成的矩形零件$DEFG$的面积能否为$25\mathrm{cm}^2$？若能，求出宽$DE$的长度；若不能，请说明理由。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$DEFG$是矩形，所以$DG// BC$。
则$\triangle ADG\sim\triangle ABC$（根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。
设$AM = h_1$，$AH = h$，$DG = x$，$BC = a$，因为$\triangle ADG$与$\triangle ABC$的对应高分别为$AM$和$AH$，所以$\frac{AM}{AH}=\frac{DG}{BC}$（相似三角形对应高的比等于相似比）。
即$\frac{h_1}{h}=\frac{x}{a}$，交叉 - 相乘可得$h_1a = hx$，也就是$AM\cdot BC = AH\cdot DG$。
2. （2）设$DE = y\mathrm{cm}$，则$AM=(8 - y)\mathrm{cm}$。
由（1）知$AM\cdot BC = AH\cdot DG$，已知$AH = 8\mathrm{cm}$，$BC = 10\mathrm{cm}$，所以$(8 - y)×10 = 8\cdot DG$，则$DG=\frac{10(8 - y)}{8}=\frac{40 - 5y}{4}\mathrm{cm}$。
矩形$DEFG$的面积$S = DE\cdot DG$，若$S = 25\mathrm{cm}^2$，则$y\cdot\frac{40 - 5y}{4}=25$。
方程两边同时乘以$4$得：$y(40 - 5y)=100$。
展开括号得：$40y-5y^{2}=100$。
移项化为标准的一元二次方程形式：$5y^{2}-40y + 100 = 0$，两边同时除以$5$得$y^{2}-8y + 20 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-8$，$c = 20$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
计算$\Delta=(-8)^{2}-4×1×20=64 - 80=-16\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以加工成的矩形零件$DEFG$的面积不能为$25\mathrm{cm}^2$。