《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

易错点 运用公式法时未化成一般形式
7. 解方程 $x^{2}=3x + 2$ 时，有一名同学的解答过程如下：
解：$\because a = 1$，$b = 3$，$c = 2$，
$\therefore b^{2}-4ac = 3^{2}-4×1×2 = 1$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm1}{2}$，
$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$。
请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解答过程。

答案：

有错误。错误之处是没有把方程化成一般形式。

正确解答过程：

解：将方程化为一般形式，得$x^{2}-3x - 2=0$，

$\because a = 1$，$b=-3$，$c=-2$，

$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-2)=9 + 8=17$，

$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$，

$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。

8. 若方程 $x^{2}+bx + c = 0$ 的两个实数根中较小的一个根是 $m(m\neq0)$，则 $b+\sqrt{b^{2}-4c}=$(D)

A.$m$
B.$-m$
C.$2m$
D.$-2m$

答案： 8.D

9. 若在实数范围内定义一种运算“$*$”，使 $a*b=(a + 1)^{2}-ab$，则方程 $(x + 2)*5 = 0$ 的解为x₁=(-1+√5)/2，x₂=(-1-√5)/2。

答案： 9.x₁=(-1+√5)/2，x₂=(-1-√5)/2

10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$。
（1）求出方程的根。
（2）当 $m$ 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

答案： 10.（1）x₁=(m+1)/(m-1)，x₂=1；（2）当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数

11. 【运算能力·推理能力·应用意识】阅读下列材料，并解决问题：
(1)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+px + q = 0$ 有两个根分别记作 $x_{1}$，$x_{2}$，利用求根公式探究出它们与 $p$，$q$ 的关系。
解：$\because a = 1$，$b = p$，$c = q$，$\therefore b^{2}-4ac=$p²-4q。
$\therefore x=$(-p±√(p²-4q))/2。
$\therefore x_{1}=$(-p+√(p²-4q))/2，
$x_{2}=$(-p-√(p²-4q))/2。
$\therefore x_{1}+x_{2}=$-p，$x_{1}\cdot x_{2}=$q。
(2)根据(1)推导的公式计算：
①已知方程 $x^{2}+3x + 2 = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$-3，$x_{1}\cdot x_{2}=$2；
②已知方程 $x^{2}-3x - 4 = 0$，则 $x_{1}+x_{2}=$3，$x_{1}\cdot x_{2}=$-4。

答案： 11.
(1)p²-4q (-p±√(p²-4q))/2 (-p+√(p²-4q))/2 (-p-√(p²-4q))/2 -p q
(2)①-3 2 ②3 -4