《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。

答案： 相似

例 如图，在$□ ABCD$中，过点$C$作$CE$交$BD$于点$M$，交$AD$于点$F$，交$BA$的延长线于点$E$。若$FM = 2$，$EF = 6$，求$CM$的长。

【思路分析】根据$□ ABCD$的性质，得$AD// BC$，从而得$\triangle FDM\backsim\triangle CBM$，于是$\frac{FM}{CM}=\frac{DM}{BM}$；同理可得$\frac{DM}{BM}=\frac{CM}{EM}$。从而推出$\frac{FM}{CM}=\frac{CM}{EM}$，代入已知数据即可求得$CM$的长。

答案： $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore\triangle FDM\backsim\triangle CBM$，
$\therefore\frac{FM}{CM}=\frac{DM}{BM}$。
同理，$\because AB// CD$，
$\therefore\triangle EBM\backsim\triangle CDM$，
$\therefore\frac{EM}{CM}=\frac{BM}{DM}$，即$\frac{DM}{BM}=\frac{CM}{EM}$。
$\therefore\frac{FM}{CM}=\frac{CM}{EM}$。
$\because FM = 2$，$EF = 6$，
$\therefore EM=EF + FM=6 + 2=8$。
$\therefore\frac{2}{CM}=\frac{CM}{8}$，
$\therefore CM^{2}=16$，
$\therefore CM = 4$（负值已舍去）。
故$CM$的长为$4$。

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$。若$BC = 10$，则$DE$的长为(B)

A.5
B.4
C.2.5
D.2

答案： 1.B

2. 如图，已知$\triangle ABC$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$的反向延长线上，且$DE// BC$。若$AE = 4$，$AC = 8$，$AD = 5$，则$AB$的长为(C)

A.5
B.8
C.10
D.15

答案： 2.C

3. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$在边$BC$上，$BE:EC = 1:2$，连接$AE$交$BD$于点$F$，则$BF:FD$的值为(C)

A.$2:3$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$

答案： 3.C

$4. $如图，在$\triangle ABC$中，点$E，$$F$分别在边$AB，$$AC$上，$\angle 1=\angle 2。$若$BC = 4，$$AF = 2，$$CF = 3，$则$EF$的长为　　$\frac{8}{5}$　　。　　

答案： $4.\frac{8}{5}$

5. 【数学文化】[2023江西]《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法。“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的$ABC$)。“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，点$A$，$B$，$Q$在同一水平线上，$\angle ABC$和$\angle AQP$均为直角，$AP$与$BC$相交于点$D$。测得$AB = 40\ cm$，$BD = 20\ cm$，$AQ = 12\ m$，则树高$PQ =$6$m$。

答案： 5.6