《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 一般地，取定一个点 $ O $，如果一个图形 $ G $ 上每一个点 $ P $ 对应于另一个图形 $ G' $ 上的点 $ P' $，且满足：(1)直线 $ PP' $ 经过点 $ O $，(2)$\frac{OP'}{OP}=|k|$，其中 $ k $ 是非零常数，当 $ k＞0 $ 时，点 $ P' $ 在射线 $ OP $ 上，当 $ k＜0 $ 时，点 $ P' $ 在射线 $ OP $ 的反向延长线上. 那么称图形 $ G $ 与图形 $ G' $ 是位似图形. 这个点 $ O $ 叫作位似中心，常数 $ k $ 叫作位似比.

答案： 1.位似中心　位似比

2. 位似图形的对应点的连线________________，对应边________________.

答案： 2.相交于一点　互相平行(或在同一直线上)

例 如图，已知$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$关于点 $ O $ 位似，$ BO = 3 $，$ B'O = 6 $.

(1)若 $ AC = 5 $，求 $ A'C' $ 的长；
(2)若$\triangle ABC$的面积为 $ 7 $，求$\triangle A'B'C'$的面积.
【思路分析】位似图形具有相似图形的性质，已知 $ AC $ 的长和$\triangle ABC$的面积，求 $ A'C' $ 的长和$\triangle A'B'C'$的面积，可先求出对应边的比.

答案：
(1) $\because \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 关于点 $O$ 位似，
$\therefore \frac{AC}{A'C'} = \frac{BO}{B'O} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，
$\because AC = 5$，
$\therefore \frac{5}{A'C'} = \frac{1}{2}$，
$\therefore A'C' = 10$。
(2) $\because \triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 关于点 $O$ 位似，
$\therefore \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$，
$\because S_{\triangle ABC} = 7$，
$\therefore \frac{7}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{1}{4}$，
$\therefore S_{\triangle A'B'C'} = 28$。

1. 下列各选项中的两个图形不是位似图形的是(D)

答案： 1.D

2. [2023 遂宁]在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形. 在如图所示的平面直角坐标系中，格点$\triangle ABC$，$\triangle DEF$成位似关系，则位似中心的坐标为(A)


A.$(-1,0)$
B.$(0,0)$
C.$(0,1)$
D.$(1,0)$

答案： 2.A

3. 如图，$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是位似图形，点 $ O $ 为位似中心. 若 $ AD = 3OA $，$\triangle ABC$的周长为 $ 5 $，则$\triangle DEF$的周长为(A)

A.$ 10 $
B.$ 15 $
C.$ 25 $
D.$ 125 $

答案： 3.A

4. 如图，以点 $ O $ 为位似中心，作四边形 $ ABCD $ 的位似图形 $ A'B'C'D' $，已知$\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{3}$. 若四边形 $ ABCD $ 的面积是 $ 3 $，则四边形 $ A'B'C'D' $ 的面积是(D)

A.$ 9 $
B.$ 18 $
C.$ 24 $
D.$ 27 $

答案： 4.D

5. [2023 长春]如图，$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$是以点 $ O $ 为位似中心的位似图形，点 $ A $ 在线段 $ OA' $ 上. 若 $ OA:AA' = 1:2 $，则$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的周长之比为1∶3.

答案： 5.1∶3