《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 的根的判别式为 $ \Delta = $ $b^{2}-4ac$.

答案： 1.$b^{2}-4ac$

2. 已知一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $. (1) $ \Delta＞0\Leftrightarrow $ 方程有 __________ 的实数根；(2) $ \Delta = 0\Leftrightarrow $ 方程有 __________ 的实数根；(3) $ \Delta＜0\Leftrightarrow $ 方程 __________ 实数根.

答案： 2.两个不相等 两个相等 没有

例 1 [2024 自贡]关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx - 2 = 0 $ 根的情况是（A）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

例 2 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (k - 1)x^{2}+x + 1 = 0 $ 有两个实数根，求 $ k $ 的取值范围.
【思路分析】方程有两个实数根，则 $ \Delta\geq0 $，但要注意二次项系数 $ k - 1\neq0 $ 的隐含条件.

答案： $\because$ 关于$x$的一元二次方程$(k - 1)x^{2}+x + 1 = 0$有两个实数根，
$\therefore \Delta = b^{2}-4ac\geq0$，且二次项系数$k - 1\neq0$。
$\Delta = 1^{2}-4(k - 1)×1 = 1 - 4(k - 1) = 1 - 4k + 4 = 5 - 4k\geq0$，
解得$k\leq\frac{5}{4}$。
又$\because k - 1\neq0$，$\therefore k\neq1$。
$\therefore k$的取值范围是$k\leq\frac{5}{4}$且$k\neq1$。

1. [2023 广元]关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}-3x+\frac{3}{2}=0 $ 的根的情况，下列说法正确的是(C)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： 1.C

2. 下列一元二次方程中有实数解的是(C)

A.$ 2x^{2}-x + 1 = 0 $
B.$ x^{2}-2x + 2 = 0 $
C.$ x^{2}+4x - 3 = 0 $
D.$ x^{2}+2 = 0 $

答案： 2.C

3. [2023 河南]关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx - 8 = 0 $ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： 3.A

4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x - k = 0 $ 没有实数根，则 $ k $ 的值可以是(A)

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ 0 $
D.$ 1 $

答案： 4.A

5. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-x - m = 0 $ 有实数根，则实数 $ m $ 的取值范围是(C)

A.$ m＜\frac{1}{4} $
B.$ m\leq\frac{1}{4} $
C.$ m\geq-\frac{1}{4} $
D.$ m＞-\frac{1}{4} $

答案： 5.C

6. [2024 淮安]若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围是(D)

A.$ k\geq4 $
B.$ k＞4 $
C.$ k\leq4 $
D.$ k＜4 $

答案： 6.D

7. [2024 湖南]若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + 2k = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ k $ 的值为 2.

答案： 7.2

8. [2024 南通]已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的 $ k $ 的值：__________.

答案： 8.－1(答案不唯一)