《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 一般地，如果两个变量 $ y $ 与 $ x $ 的关系可以表示成$ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数，$ k \neq 0 $)的形式，那么称 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数，其中 $ x $ 是自变量，常数 $ k $($ k \neq 0 $)称为反比例函数的比例系数。

答案： 1. $ y = \frac{k}{x} $；自变量；比例系数

2. 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数，$ k \neq 0 $)可以写成$ y = kx^{-1} $或$ xy = k $的形式。

答案： 2. $ y = kx^{-1} $；$ xy = k $

例 1 下列式子中，$ y $ 是不是关于 $ x $ 的反比例函数？若是，请写出它的比例系数。
(1) $ y = \frac{2}{x} $； (2) $ y = 4x^{-1} $；
(3) $ xy = -2 $； (4) $ y = \frac{1}{7x} $；
(5) $ y = \frac{3}{x - 2} $。
【思路分析】判断是否是反比例函数，关键看是否符合 $ y = \frac{k}{x} $ 或 $ xy = k $ 或 $ y = kx^{-1} $（$ k $ 为常数，$ k \neq 0 $）的形式，其中 $ k $ 是比例系数。

答案： 例 1
(1)是，比例系数是2；
(2)是，比例系数是4；
(3)是，比例系数是-2；
(4)是，比例系数是$\frac{1}{7}$；
(5)不是

例 2 某游泳池有 $ 1200 \, m^3 $ 水，设放水的平均速度为 $ v \, m^3/h $，将游泳池内的水放完需 $ t \, h $。求 $ v $ 关于 $ t $ 的函数表达式，并写出自变量 $ t $ 的取值范围。
【思路分析】根据放水速度 $ × $ 放水时间 $ = $ 水的体积（定值），即可列出函数关系式。考虑到本题的实际意义，要有放水时间 $ t ＞ 0 $ 的限制。

答案： 例 2 $ v = \frac{1200}{t} $，自变量 $ t $ 的取值范围是 $ t ＞ 0 $

1. [2024娄底模拟]下列函数中，y是关于x的反比例函数的是(D)

A.$ y = 5x + 1 $
B.$ y = - 6x $
C.$ y = \frac{1}{x^{2}} $
D.$ y = - \frac{1}{2x} $

答案： 1.D

2. [2024平顶山模拟]在下列函数表达式中，x均表示自变量：①$ y = \frac{\pi}{x} $；②$ y = \frac{- x}{3} $；③$ y = \frac{1}{x} $；④$ xy = - 1 $；⑤$ y = \frac{2}{x + 1} $；⑥$ y = \frac{5}{x} - 3 $，其中y是x的反比例函数的有(C)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 2.C

3. 反比例函数$ y = \frac{5}{x} $的比例系数是5.

答案： 3.5

4. 若函数$ y = \frac{a + 3}{x} $是关于x的反比例函数，则a满足的条件是a≠-3.

答案： 4.a≠-3

5. 已知反比例函数$ y = - \frac{3}{2x} $.
（1）写出这个函数的比例系数；
（2）当$ x = - 10 $时，求函数y的值；
（3）当$ y = 6 $时，求自变量x的值.

答案： 5.
(1)比例系数为$-\frac{3}{2}$
(2)$y=\frac{3}{20}$
(3)$x=-\frac{1}{4}$

6. 某司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以80km/h的平均速度用了6h到达目的地，当他沿原路匀速返回时，汽车的速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式为(A)

A.$ v = \frac{480}{t} $
B.$ v + t = 480 $
C.$ v = \frac{80}{t} $
D.$ v = \frac{t - 6}{t} $

答案： 6.A