《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

反比例函数常见的几种应用：
(1)物理公式：
①压力 $ F $ 为定值，压强 $ p $ 关于面积 $ S $ 的关系式为p=$\frac{F}{S}$；
②质量 $ m $ 为定值，密度 $ \rho $ 关于体积 $ V $ 的关系式为$\rho=\frac{m}{V}$；
③电压 $ U $ 为定值，电流 $ I $ 关于电阻 $ R $ 的关系式为$I=\frac{U}{R}$.
(2)面积公式：
①矩形面积 $ S $ 为定值，长 $ a $ 关于宽 $ b $ 的关系式为$a=\frac{S}{b}$；
②三角形面积 $ S $ 为定值，底边 $ a $ 关于高 $ h $ 的关系式为$a=\frac{2S}{h}$.

答案：
(1)①p=$\frac{F}{S}$ ②$\rho=\frac{m}{V}$ ③$I=\frac{U}{R}$
(2)①$a=\frac{S}{b}$ ②$a=\frac{2S}{h}$

例 某科技小组野外考察时遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道.若人和木板对烂泥湿地的压力 $ F $(N)一定时，木板对烂泥湿地的压强 $ p $(Pa)是木板面积 $ S $(m²)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)求出 $ p $ 关于 $ S $ 的函数表达式；
(2)当木板面积为 $ 0.3 $ m² 时，压强是多少？

答案：
(1)设$ p $关于$ S $的函数表达式为$ p=\frac{k}{S} $。
将$ A(2,300) $代入，得$ 300=\frac{k}{2} $，解得$ k=600 $。
$\therefore p=\frac{600}{S}$。
(2)当$ S=0.3 $时，$ p=\frac{600}{0.3}=2000 $。
即压强是$ 2000 $Pa。

1. [2024 山西]机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度 $ v $(m/s)是载重后总质量 $ m $(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量 $ m=60 $ kg 时，它的最快移动速度 $ v=6 $ m/s.当其载重后总质量 $ m=90 $ kg 时，它的最快移动速度 $ v= $4 m/s.

答案： 1.4

2. [2024 湖南]在一定条件下，乐器中弦振动的频率 $ f $(Hz)与弦长 $ l $(m)成反比例关系，即 $ f=\frac{k}{l} $($ k $ 为常数，$ k \ne 0 $).若某乐器的弦长 $ l $ 为 $ 0.9 $ m，振动频率 $ f $ 为 $ 200 $ Hz，则 $ k $ 的值为180.

答案： 2.180

3. [2024 南通]已知蓄电池的电压为定值，电流 $ I $(A)与电阻 $ R $(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过 $ 10 $ A，那么用电器可变电阻 $ R $ 应控制的范围是$R\geq3.6\Omega$.

答案： 3.$R\geq3.6\Omega$

4. [2023 台州]科学课上，同学们用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 $ h $(cm)是液体的密度 $ \rho $(g/cm³)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为 $ 1 $ g/cm³ 的水中时，$ h $ 为 $ 20 $ cm.

(1)求 $ h $ 关于 $ \rho $ 的函数表达式；
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，$ h=25 $ cm，求该液体的密度 $ \rho $.

答案： 4.
(1)h关于$\rho$的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}$
(2)该液体的密度$\rho$为$0.8g/cm^{3}$