《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

6. 如图，已知菱形$ABCD$的边长为$3$，延长$AB$至点$E$，使$BE = 2AB$，连接$EC$并延长交$AD$的延长线于点$F$，求$AF$的长。

答案： 6.AF=4.5

7. 如图，在平面直角坐标系中，$C$为$\triangle AOB$的$OA$边上一点，$AC:OC = 1:2$，过点$C$作$CD// OB$交$AB$于点$D$。若$C$，$D$两点的纵坐标分别为$1$，$3$，则点$B$的纵坐标为(C)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： 7.C

8. [2024河南]如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$OC$的中点，$EF// AB$交$BC$于点$F$。若$AB = 4$，则$EF$的长为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{4}{3}$
D.2

答案： 8.B

$9. 【$数学文化$】《$九章算术$》$是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：$“$今有勾五步，股十二步。问勾中容方几何。$”$其大意是：如图，$Rt\triangle ABC$的两条直角边$AC，$$BC$的长分别为$5$和$12，$则它的内接正方形$CDEF$的边长为　　$\frac{60}{17}$　　。　　

答案： $9.\frac{60}{17}$

10. 如图，已知$□ ABCD$，过点$A$的直线交$BC$的延长线于点$E$，分别交$BD$，$CD$于点$F$，$G$。
（1）若$AB = 3$，$BC = 4$，$CE = 2$，求$CG$的长；
（2）求证：$AF^{2}=FG\cdot FE$。

答案： 1. （1）
解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。
由$AB// CD$，可得$\triangle ECG\sim\triangle EBA$。
根据相似三角形的性质，$\frac{CG}{AB}=\frac{CE}{BE}$。
已知$AB = 3$，$BC = 4$，$CE = 2$，则$BE=BC + CE=4 + 2=6$。
把$AB = 3$，$CE = 2$，$BE = 6$代入$\frac{CG}{AB}=\frac{CE}{BE}$中，得到$\frac{CG}{3}=\frac{2}{6}$。
解得$CG = 1$。
2. （2）
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD// BC$。
由$AB// CD$，可得$\triangle ADF\sim\triangle GBF$，则$\frac{AF}{FG}=\frac{DF}{BF}$。
由$AD// BC$，可得$\triangle AFD\sim\triangle EFB$，则$\frac{FE}{AF}=\frac{BF}{DF}$。
所以$\frac{AF}{FG}=\frac{FE}{AF}$，即$AF^{2}=FG\cdot FE$。
综上，（1）$CG$的长为$1$；（2）证明成立。

11. 【几何直观】如图，已知$AC// EF// BD$。
（1）求证：$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$；
（2）若$AC = 3$，$EF = 2$，求$BD$的长。

答案： 1. （1）证明：
因为$EF// AC$，所以$\triangle BEF\sim\triangle BAC$。
根据相似三角形的性质，$\frac{EF}{AC}=\frac{BF}{AB}$ ①。
又因为$EF// BD$，所以$\triangle AEF\sim\triangle ADB$。
根据相似三角形的性质，$\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{AB}$ ②。
① + ②得：$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}$。
因为$BF + AF = AB$，所以$\frac{EF}{AC}+\frac{EF}{BD}=1$。
两边同时除以$EF$得：$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$。
2. （2）解：
已知$AC = 3$，$EF = 2$，由$\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{EF}$可得：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}$。
移项得：$\frac{1}{BD}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$。
通分计算：$\frac{1}{BD}=\frac{3 - 2}{6}=\frac{1}{6}$。
所以$BD = 6$。
综上，（1）证明如上；（2）$BD$的长为$6$。