《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

6. [2024 永州模拟]如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 10 cm$，$AD = 8 cm$。点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 边以 $2 cm/s$ 的速度向终点 $B$ 运动；同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $BC$ 边以 $1 cm/s$ 的速度向终点 $C$ 运动。当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 也随之停止运动。
(1)出发几秒后，点 $P$，$D$ 之间的距离是点 $P$，$Q$ 之间距离的两倍？
(2)在点 $P$，$Q$ 运动过程中，是否存在某个时刻，使得 $\triangle DPQ$ 的面积是 $16 cm^2$？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由。

答案： 1. （1）
设出发$t$秒后，点$P$，$D$之间的距离是点$P$，$Q$之间距离的两倍。
已知$AP = 2t$，$BQ=t$，则$PB=(10 - 2t)$。
在矩形$ABCD$中，$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，根据勾股定理：
$DP^{2}=AD^{2}+AP^{2}$，因为$AD = 8$，$AP = 2t$，所以$DP^{2}=64 + 4t^{2}$；
$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}$，因为$PB=(10 - 2t)$，$BQ = t$，所以$PQ^{2}=(10 - 2t)^{2}+t^{2}=100-40t + 4t^{2}+t^{2}=100-40t + 5t^{2}$。
又因为$DP = 2PQ$，所以$DP^{2}=4PQ^{2}$，即：
$64 + 4t^{2}=4(100-40t + 5t^{2})$。
展开得$64 + 4t^{2}=400-160t + 20t^{2}$。
移项得$20t^{2}-4t^{2}-160t + 400 - 64 = 0$。
合并同类项得$16t^{2}-160t + 336 = 0$。
两边同时除以$16$得$t^{2}-10t + 21 = 0$。
分解因式得$(t - 3)(t - 7)=0$。
解得$t_{1}=3$，$t_{2}=7$。
因为点$P$从$A$到$B$的运动时间$t\leqslant\frac{10}{2}=5$，所以$t = 7$舍去。
所以出发$3$秒后，点$P$，$D$之间的距离是点$P$，$Q$之间距离的两倍。
2. （2）
设运动时间为$t$秒，$S_{\triangle DPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{\triangle ADP}-S_{\triangle BPQ}-S_{\triangle DCQ}$。
已知$S_{矩形ABCD}=AB× AD=10×8 = 80$，$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}× AD× AP=\frac{1}{2}×8×2t = 8t$，$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}(10 - 2t)t=(5t - t^{2})$，$S_{\triangle DCQ}=\frac{1}{2}× DC× CQ=\frac{1}{2}×10×(8 - t)=(40 - 5t)$。
则$S_{\triangle DPQ}=80-8t-(5t - t^{2})-(40 - 5t)$。
化简得$S_{\triangle DPQ}=80-8t - 5t + t^{2}-40 + 5t=t^{2}-8t + 40$。
当$S_{\triangle DPQ}=16$时，$t^{2}-8t + 40 = 16$。
移项得$t^{2}-8t + 24 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-8,c = 24)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×24=64 - 96=-32\lt0$。
所以方程$t^{2}-8t + 24 = 0$无实数根，即不存在某个时刻，使得$\triangle DPQ$的面积是$16cm^{2}$。
综上，（1）$3$秒；（2）不存在。

7. [2024 六安模拟]“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种。某葡萄种植基地 2022 年年底已经种植“阳光玫瑰”300 亩，到 2024 年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到 432 亩。
(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率。
(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为 20 元/kg 时，每天能售出 300 kg；销售单价每降低 1 元，每天可多售出 50 kg。为了减少库存，该基地决定降价促销。已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为 10 元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利 3 150 元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定为多少元？

答案： 7.
(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20％
(2)销售单价应定为17元