《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

5. 已知α为锐角，且sinα=$\frac{1}{2}$，则α的度数为(A)

A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

答案： 5.A

6. 计算：$sin30°-2^{-1}=$0。

答案： 6.0

7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinA=$\frac{4}{5}$，则AB的长为(C)

A.8
B.9
C.10
D.12

答案： 7.C

8. 如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A处出发，沿着山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)。若AB=80m，sinα=$\frac{1}{2}$，则孔明从A到B上升的高度BC是40m。

答案： 8.40

9. 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=$\frac{4}{5}$。

答案： $9.\frac{4}{5}$

10. 如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=120°，腰长为2cm，求它的底边BC的长。

答案： $10.BC=2\sqrt{3}(cm)$

11. 如图，在平面直角坐标系中，OB=5，sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，点A的坐标为(10,0)。求：
（1）点B的坐标；
（2）sin∠OAB的值。

答案： 11.
(1)点B的坐标为$(4,3) (2)\sin\angle OAB=\frac{\sqrt{5}}{5}$

12. 【推理能力】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC边（除端点外）上的一点，设∠ADC=α，∠B=β。
（1）猜想sinα与sinβ的大小关系；
（2）试证明你的猜想；
（3）猜想锐角α，β的大小与它们正弦值大小的规律。

答案： 1. （1）猜想：$\sin\alpha\gt\sin\beta$。
2. （2）证明：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\sin\beta = \frac{AC}{AB}$；在$Rt\triangle ADC$中，$\sin\alpha=\frac{AC}{AD}$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，$AD = \sqrt{AC^{2}+CD^{2}}$，且$BC\gt CD$（$D$为$BC$边除端点外的一点）。
所以$AB\gt AD$。
又因为$AC\gt0$，根据分子相同，分母越大分数越小，可得$\frac{AC}{AD}\gt\frac{AC}{AB}$，即$\sin\alpha\gt\sin\beta$。
3. （3）规律：
对于锐角$\alpha$，$\beta$，当$\alpha\gt\beta$时，$\sin\alpha\gt\sin\beta$；反之，当$\sin\alpha\gt\sin\beta$时，$\alpha\gt\beta$。
综上，（1）$\sin\alpha\gt\sin\beta$；（2）证明过程如上述；（3）对于锐角$\alpha$，$\beta$，当$\alpha\gt\beta$时，$\sin\alpha\gt\sin\beta$；反之，当$\sin\alpha\gt\sin\beta$时，$\alpha\gt\beta$。