《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

5. 如图，在正方形$ABCD$中，$M$是边$AB$的中点，$E$是边$AD$上的一点，且$EM\perp CM$。求证：
(1) $\triangle AEM\backsim\triangle BMC$；
(2) $\frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$；
(3) $CM$平分$\angle BCE$。

答案：

(1)证明：在正方形$ABCD$中，$\angle A = \angle B = 90°$，$AB = BC$。

$\because EM\perp CM$，$\therefore \angle EMC = 90°$，$\therefore \angle AME+\angle BMC = 90°$。

$\because \angle A = 90°$，$\therefore \angle AME+\angle AEM = 90°$，$\therefore \angle AEM=\angle BMC$。

$\because \angle A=\angle B = 90°$，$\therefore \triangle AEM\backsim\triangle BMC$。

(2)证明：$\because M$是边$AB$的中点，$\therefore AM = BM=\frac{1}{2}AB$。

$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = BC$，$\therefore BM=\frac{1}{2}BC$，$\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$。

$\because \triangle AEM\backsim\triangle BMC$，$\therefore \frac{EM}{CM}=\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$。

(3)证明：设正方形边长$AB = BC = 2a$，则$AM = BM=a$。

设$AE = x$，$\because \triangle AEM\backsim\triangle BMC$，$\therefore \frac{AE}{BM}=\frac{AM}{BC}$，$\frac{x}{a}=\frac{a}{2a}$，$x=\frac{a}{2}$，$\therefore AE=\frac{a}{2}$，$ED = 2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$。

在$Rt\triangle BMC$中，$CM=\sqrt{BM^2 + BC^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$。

在$Rt\triangle CDE$中，$CE=\sqrt{ED^2 + CD^2}=\sqrt{(\frac{3a}{2})^2+(2a)^2}=\frac{5a}{2}$。

过点$M$作$MF\perp CE$于点$F$，$\because EM\perp CM$，$\therefore S_{\triangle EMC}=\frac{1}{2}EM\cdot CM=\frac{1}{2}CE\cdot MF$。

$\because \frac{EM}{CM}=\frac{1}{2}$，$CM=\sqrt{5}a$，$\therefore EM=\frac{\sqrt{5}a}{2}$。

$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}a}{2}×\sqrt{5}a=\frac{1}{2}×\frac{5a}{2}× MF$，解得$MF = a$。

$\because BM=a$，$MF = BM$，$MF\perp CE$，$MB\perp BC$，$\therefore CM$平分$\angle BCE$。

6. 如图，$Rt\triangle ABO$的直角顶点在坐标原点，$\angle ABO = 30^{\circ}$。若点$A$在反比例函数$y = -\frac{2}{x}(x ＜ 0)$的图象上，则经过点$B$的反比例函数的表达式为(C)


A.$y=\frac{4}{x}$
B.$y=-\frac{6}{x}$
C.$y=\frac{6}{x}$
D.$y=\frac{8}{x}$

答案： 6.C

7. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = x + 3$与$x$轴交于点$B$，与直线$CD$交于点$A\left(-\frac{12}{11},a\right)$，点$D$的坐标为$\left(0,\frac{3}{2}\right)$，点$C$在$x$轴上。
(1) 求$a$的值；
(2) 求直线$CD$的函数表达式；
(3) 若$E$是直线$CD$上一动点（不与点$C$重合），当$\triangle CBE\backsim\triangle COD$时，求点$E$的坐标。

答案： $7.(1)a=\frac{21}{11}$
(2)直线CD的函数表达式为$y=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}$
(3)点E的坐标为$(-3,\frac{21}{8})$