《2025年全效学习同步学练测九年级数学上册湘教版》

1. 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即sinα=$\frac{角\alpha的对边}{斜边}$。

答案： 1.对边 斜边$ \frac{角\alpha的对边}{斜边}$

2. 正弦值：sin30°=$\frac{1}{2}$。

答案： $2.\frac{1}{2}$

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，求sinA和sinB的值。
【思路分析】先根据题意画出符合条件的直角三角形，利用勾股定理求出AB，再根据正弦的定义求值。

【点悟】根据正弦的定义求锐角正弦值的一般步骤：①画出符合题意的直角三角形；②根据勾股定理求出未知的边长；③结合正弦的定义求锐角的正弦值。

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90{°}$，$BC = 1$，$AC = 3$。
由勾股定理得$AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$，
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$。
综上，$\sin A$的值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，$\sin B$的值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

例2 在△ABC中，若∠A+∠C=150°，求sinB的值。
【思路分析】先根据三角形内角和求出∠B的度数，再求其正弦值。

答案：
∵∠A+∠C=150°，
∴∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-150°=30°，
∴sinB=sin30°=$\frac{1}{2}$。

1. [2024咸阳模拟]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，AC=5，则sinB的值为(A)

A.$\frac{5}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{5}{12}$
D.$\frac{13}{5}$

答案： 1.A

2. 在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinB的值为$\frac{3}{5}$。

答案： $2.\frac{3}{5}$

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。若a=2，sinA=$\frac{1}{3}$。则b=4\sqrt{2}，c=6。

答案： $3.4\sqrt{2} 6$

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别求图①和图②两个三角形中sinA和sinB的值。

答案： $4.①\sin A=\frac{3\sqrt{34}}{34},\sin B=\frac{5\sqrt{34}}{34} ②\sin A=\frac{2\sqrt{5}}{5},\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$